湖北省荆州市草市中学高三数学文摸底试卷含解析

湖北省荆州市草市中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是

（

）

(A)[15,20] (B)[12,25]

(C)[10,30] (D)[20,30]参考答案：C2.如表中数表为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行，第j列的数为aij，则数字41在表中出现的次数为（）234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……A.4 B.8 C.9 D.12参考答案：B【分析】由表格得到每一列的通项公式，分析通项公式即可得到答案。【详解】由图可知，第1列的通项公式为，第2列的通项公式为，第3列通项公式为，第列的通项公式为，，令，则，即为40的正约数，则的取值为1，2，4，5，8，10，20，40共8个，故选：B．【点睛】本题考查行列模型的等差数列的应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，属于中档题。3.在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面，则平面内任意一条直线；③若平面与平面的交线为，平面内的直线直线，则直线平面；④若点到三角形三条边的距离相等，则点在该三角形内部的射影是该三角形的内心。其中正确命题的个数为A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：答案:B4.已知向量，若,则（

） A． B． C． D．参考答案：B5.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（0，） D．（，1）参考答案：C【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．【点评】本题考查期望的计算，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍．6.已知全集，集合则集合中的元素的个数为

(

)A.1

B.1

C.3

D.4参考答案：【知识点】集合的运算

A1Ｂ因为集合，所以，求得，所以，故选择Ｂ.【思路点拨】先求得集合，可得，根据补集定义求的其补集.7.若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或 B．或 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力． 8.设函数f（x）=x2+xsinx，对任意x1，x2∈（﹣π，π），若f（x1）＞f（x2），则下列式子成立的是(

) A．x1＞x2 B． C．x1＞|x2| D．|x1|＜|x2|参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由于f（﹣x）=f（x），故函数f（x）=x2+xsinx为偶函数，则f（x1）＞f（x2）?f（|x1|）＞f（|x2|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，当x＞0时，f′（x）＞0，从而可得答案．解答： 解：∵f（﹣x）=（﹣x）2﹣xsin（﹣x）=x2+xsinx=f（x），∴函数f（x）=x2+xsinx为偶函数，∴f（﹣x）=f（|x|）；又f′（x）=2x+sinx+xcosx，∴当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）=xsinx在上单调递增，∵f（x1）＞f（x2），∴结合偶函数的性质得f（|x1|）＞f（|x2|），∴|x1|＞|x2|，∴x12＞x22．故选B．点评：本题考查函数f（x）的奇偶性与单调性，得到f（x）为偶函数，在上单调递增是关键，考查分析转化能力，属于中档题．9.在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=30o，CD是边AB上的高，则·= A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由程序框图可得，该程序的功能时求的值．由于．所以输出的结果为．选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于的方程（其中为虚数单位），则方程的解_______.参考答案：由行列式得，即。【答案】【解析】12.已知函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，则实数a的取值范围是________.参考答案：(0,1)【分析】若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点,则函数与函数的图象在有两个交点,

即有两个解,

即有两个解,令,对求导函数，得出导函数的正负，研究函数的单调性，最值，可求得实数a的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点,

则函数与函数的图象在有两个交点,

即有两个解,

即有两个解,

令,则

，令，则，，在上单调递减，而，，即，时，，在单调递增，在单调递减，，又时，，时，，∴要使有两个解,则需，故答案为：.【点睛】本题考查两函数图象的关于直线的对称点的问题，解决的关键在于将对称点问题转化为两图象的交点问题，继而转化为方程的根的问题，运用参变分离，构造新函数，对新函数求导，分析其导函数的正负，得出新函数的单调性、最值，图象趋势，得到参数的范围,属于难度题.13.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）参考答案：1080

14.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简后，根据平移变换的规律，得图象关于y轴对称，利用诱导公式可得答案．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），向左平移φ个单位，可得sin（2x+2φ+），要使所得图象关于y轴对称，∴2φ+=，即φ=，（k∈Z）当k=0时，可得φ的最小正值为．故答案为：．【点评】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的运用，属于基础题．15.己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺

寸（单位cm），可得这个几何体的体积是----_________．参考答案：略16.若数列，则

。参考答案：10217.给出下列说法，其中说法正确的序号是②③．①小于90°的角是第Ⅰ象限角；

②若α是第Ⅰ象限角，则tanα＞sinα；③若f（x）=cos2x，|x2﹣x1|=π，则f（x1）=f（x2）；④若f（x）=sin2x，g（x）=cos2x，x1、x2是方程f（x）=g（x）的两个根，则|x2﹣x1|的最小值是

．参考答案：π【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合三角函数的性质分别对①②③④各个选项进行判断即可．【解答】解：对于①：如﹣30°＜90°，在第四象限，故①错误；对于②：tanα﹣sinα=﹣sinα=，∵α是第Ⅰ象限角，∴1﹣cosα＞0，cosα＞0，∴tanα﹣sinα＞0，即tanα＞sinα，故②正确；对于③：由|x2﹣x1|=π，得：x2=x1±π，∴f（x1）﹣f（x2）=cos2x1﹣cos2（x1±π）=cos2x1﹣cos（2x1±2π）=cos2x1﹣cos2x1=0，故③正确；对于④：令x1=，x2=，代入方程，满足方程，而|x2﹣x1|=．故④错误；故答案为：②③．【点评】本题考查了三角函数的性质及运算，熟练掌握关于三角函数的基础知识是解答本题的关键，本题是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．参考答案：19.(本小题满分14分)已知，其中是自然常数，．（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）若的最小值是，求的值.参考答案：（1），∴当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，∴的极小值为；……4分（2）的极小值为1，即在上的最小值为、∴，令，，当时，，在上单调递增，∴

、∴在(1)的条件下，；………9分（3）的最小值为，

①当时，，所以在上单调递减，；解得（舍）；②当时，在上单调递减，在上单调递增、，，满足条件.

③当时，，所以在上单调递减，,解得（舍）；综上，，使得当时有最小值.………………14分20.已知,不等式的解集为.(1)求;(2)当时,证明:参考答案：（1），原不等式等价于，

（2’）解得

（4’）不等式的解集是；

（5’）（2）

（8’）

（10’）21.（本小题满分13分）某学校实验室有浓度为和的两种溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为和的两种溶液各分别装入