河南省安阳市县第一高级中学高三数学文下学期摸底试题含解析

河南省安阳市县第一高级中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合或，则=

A.

B.C.

D.

参考答案：A略2.已知函数，若，且，则的最小值为（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D3.已知由不等式组，确定的平面区域的面积为7，定点M的坐标为，若，O为坐标原点，则的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B

解析：依题意：画出不等式组所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为，由直线恒过点，且原点的坐标恒满足，当时，，此时平面区域的面积为，由于，由此可得.由可得，依题意应有，因此（，舍去）故有，设，故由，可化为，所以当直线过点时，截距最大，即取得最小值，故选B．【思路点拨】首先作出不等式组所表示的平面区域，然后根据直线恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足，当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6＜7，由此可得k＜0．联立方程组求出D的坐标，根据三角形的面积公式求得k的值，最后把转化为线性目标函数解决．4.若集合，，则（

）（A）

（B）（C）

（D）或参考答案：B【知识点】集合的运算因为

所以，

故答案为：B5.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：C6.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A略7.函数的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值。【详解】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C。【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值。8.函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），若当x∈（，）时，f（x）=（）x，则fA．﹣ B． C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），当x∈（，）时，f（x）=（）x，从而f=f（﹣1）=﹣f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∵当x∈（，）时，f（x）=（）x，∴f=f（﹣1）=﹣f（2）=﹣（）2=﹣．故选：A．9.函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M，最小值为m，则；④若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为

（

）A.

1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B10.已知集合，，则等于（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先解不等式求得集合B,再进行补集交集运算【详解】由题故，.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B是关键，是基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在△ABC中，AD是高线，是中线，DC=BE,DGCE于G,

EC的长为8，则EG=__________________．

参考答案：【知识点】几何证明N14解析：连接DE，在中，为斜边的中线，所以．又，DGCE于G，∴DG平分EC，故．【思路点拨】由中，为斜边的中线，可得，所以为直角三角形.12.已知函数，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略13.等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=（n∈N+）参考答案：3n﹣5略14.已知六棱锥P-ABCDEF的七个顶点都在球O的表面上，若，PA⊥底面ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则球O的体积为____________________.参考答案：【分析】根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积.【详解】解：在六棱锥中，由于底面正六边形边长为1，故底面外接圆半径，，底面，设外接球的半径为则解得故答案为：【点睛】本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题.15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcosC﹣ccosB=4，≤C≤，则tanA的最大值为．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cosB=﹣=﹣＜0，可得A为锐角，可得要tanA取最大值，则b，c取最小值，由bcosC=ccosB+4=c×（﹣）+4=3，解得cosC=，由C的范围即可解得≤cosC≤，从而可求b的范围，结合余弦定理即可解得c的范围，从而由余弦定理即可求得tanA的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，bcosC﹣ccosB=4=2a，∴由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，整理可得：sinBcosC+3cosBsinC=0，即：sinA+2cosBsinC=0，∴a+2ccosB=0，解得：cosB=﹣=﹣＜0，可得：B为钝角，A为锐角．∴要tanA取最大值，则A取最大值，B，C取最小值，从而b，c取最小值．∵bcosC=ccosB+4=c×（﹣）+4=3，解得：cosC=，∵≤C≤，可得：≤cosC≤，即：≤≤，解得：3≤b≤6，又∵cosB==﹣，整理可得：b2﹣c2=8，∴≤c≤2，∴当tanA取最大值时，b=3，c=，此时，由余弦定理可得：cosA===，∴从而求得tanA==．即tanA取最大值为．故答案为：．16.若，，，则大小关系为

。参考答案：c<a<b17.设x，y满足约束条件，若z=，则实数z的取值范围为．参考答案：[﹣3，]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可求出z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，3）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于O时，直线的斜率最小，由，解得，即B（4，6），∴BP的斜率k=，OP的斜率k=，∴﹣3．故答案为：[﹣3，]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：（1）（ax+by）2≤ax2+by2（2）（a+）2+（b+）2≥．参考答案：考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：（1）将所证的关系式作差（ax+by）2﹣（ax2+by2）=a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy=﹣ab（x﹣y）2≤0，当且仅当x=y时等号成立；（2）将所证的不等式左端展开，转化为，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．解答： 证明：（1））（ax+by）2﹣（ax2+by2）=a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy，因为a+b=1，所以a﹣1=﹣b，b﹣1=﹣a，又a，b均为正数，所以a（a﹣1）x2+b（b﹣1）y2+2abxy=﹣ab（x2+y2﹣2xy）=﹣ab（x﹣y）2≤0，当且仅当x=y时等号成立；（2）==．当且仅当a=b时等号成立．点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．19.已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，，记数列的前项和为.（I）求数列的通项公式及前项和公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式；（III）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围。

参考答案：

解析：（1）设数列的公差为，由题意得，解得，∴，∴。（2）由题意得，叠乘得.由题意得

①

②②—①得：∴（3）由上面可得，令，则，，，，。下面研究数列的单调性，∵，∴时，，，即单调递减。∵集合的子集个数为16，∴中的元素个数为4，∴不等式，解的个数为4，∴

略20.（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，是否存在直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，满足两个条件：①线段AB的中点P在直线x+2y=0上；②△FAB的面积有最大值．如果存在，请求出面积的最大值；如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）通过椭圆C：=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，即得a=2，再利用离心率及a2﹣b2=c2，计算可得椭圆C的方程；（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F（，0）到直线AB的距离d=，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，∴2a=4，即a=2，∵离心率为，∴，又∵a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为：；（2）结论：存在满足条件的直线l：y=x+，S△FAB最大为．理由如下：由（1）知F（，0），分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，此时方程为：x=t，又∵线段AB的中点P在直线x+2y=0上，∴直线l：x=0，此时A（0，），B（0，），此时S△FAB===2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立直线l与椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（6﹣m2）＞0，∴，由韦达定理，得x0==，y0=kx0+m=，∵线段AB的中点P在直线x+2y=0上，∴k=1，∴|AB|==，又∵点F（，0）到直线AB的距离d=，∴S△FAB===（，m≠0），设u（m）=

（，m≠0），则令u′（m）=0，可得m=﹣或m=﹣或m=，（①）当﹣＜m＜﹣时，u′（m）＞0；（②）当﹣＜m＜﹣时，u′（m）＜0；（③）当﹣＜m＜时，u′（m）＞0；（④）当＜m＜时，u′（m）＜0；又u（﹣）=，u（）=32，∴当m=时，S△FAB最大为；综上所述，存在满足条件的直线l：y=x+，S△FAB最大为．【点评】：本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，点到直线的距离公式，三角形面积计算公式，函数的单调性，考查分类讨