函数的单调性与导数公开课

关于函数的单调性与导数公开课一、新课导入------复旧知新1.函数的单调性是怎样定义的？2.怎样用定义判断函数的单调性？

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论第2页,共16页，2024年2月25日，星期天下图(1)表示高台跳水运动员的高度

h随时间t

变化的函数h(t)=-4.9t

2+6.5t+10的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数

v(t)=-9.8t+6.5

的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?hOabt(1)Ovt(2)ab二、讲授新课------导入新课第3页,共16页，2024年2月25日，星期天①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)=h'(t)>0.②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,v(t)=h'(t)<0.O(1)abhtOvtab(2)通过观察图像，我们可以发现：第4页,共16页，2024年2月25日，星期天

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.二、讲授新课-----问题探究yxy=xoyxo（2）（1）y=x2xyo（3）y=x3（4）xyo第5页,共16页，2024年2月25日，星期天二、讲授新课-----问题探究yxoy=f(x)

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内,如果f'(x)

>0

,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0

,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；(x0，f(x0))(x1，f(x1))特别地，如果

在某个区间内恒有f'(x)=0

,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.第6页,共16页，2024年2月25日，星期天例1.

已知导函数f'(x)

的下列信息:当1<x<4时,f'(x)>0；当x>4,或x<1时,f'(x)

<0；当x=4,或x=1时,f'(x)

=0。试画出函数f(x)

的图象的大致形状.解:

当1<x<4时,f'(x)

>0,可知f(x)

在此区间内单调递增;当

x>4,

或

x<1时,

f'(x)

<0

,可知

f(x)

在此区间内单调递减;当

x=4,

或x=1时,f'(x)

=0.(这两点比较特殊，我们称他们为“临界点”)

综上,函数

f(x)

图象的大致形状如右图所示.xyO14二、讲授新课-----牛刀小试第7页,共16页，2024年2月25日，星期天二、讲授新课-----牛刀小试xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2练习.

设导函数y=f'(x)的图象如图，则其原函数可能为()(A)(B)(C)(D)Cy=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)第8页,共16页，2024年2月25日，星期天二、讲授新课-----典例精讲例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx第9页,共16页，2024年2月25日，星期天例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:二、讲授新课-----典例精讲解：(1)f(x)=x3+3x(2)f(x)=x2-2lnx（1）f'(x)=x3+3x=3(x2+1)>0

所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。第10页,共16页，2024年2月25日，星期天二、讲授新课-----典例精讲例3.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x2-2x-3,(2)f(x)=x2－2lnx解：(2)函数f(x)=x2－2lnx定义域为当f'(x)>0,即x>1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增；当f'(x)<0,即0<x<1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减；所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为，单调减区间为（0，1）第11页,共16页，2024年2月25日，星期天三、问题总结

利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;(4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。第12页,共16页，2024年2月25日，星期天四、巩固练习f'(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)

当f'(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3单调递增；当f'(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3单调递减；所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为（-1，1），单调减区间为和判断函数f(x)=3x-x3的单调性,并求出单调区间:解：第13页,共16页，2024年2月25日，星期天五、课堂小结在某个区间(a,b)内,如果f'(x)

>0

,那么函数在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0

,那么函数在这个区间内单调递减；2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;(4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。1.函数的单调