常微分方程 奇解与包络

关于常微分方程奇解与包络2.4

奇解包络和奇解克莱罗方程（ClairantEquation）本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。主要内容第2页,共34页，2024年2月25日，星期天利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点。解：容易看到y=0是解，并且满足给定的初始条件例1得通解由第3页,共34页，2024年2月25日，星期天第4页,共34页，2024年2月25日，星期天xy第5页,共34页，2024年2月25日，星期天定义2.3

如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线

第6页,共34页，2024年2月25日，星期天一包络和奇解的定义曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。第7页,共34页，2024年2月25日，星期天第8页,共34页，2024年2月25日，星期天例单参数曲线族R是常数，c是参数。xyo显然，是曲线族的包络。一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。第9页,共34页，2024年2月25日，星期天注:并不是每个曲线族都有包络.例如:单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆.

如图从图形可见,此曲线族没有包络.第10页,共34页，2024年2月25日，星期天

二、不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D上连续且在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。

如果存在唯一性定理条件不是在整个第11页,共34页，2024年2月25日，星期天第12页,共34页，2024年2月25日，星期天定理2.6方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。证明：应用定理2.1积分曲线与线素场的关系的充要条件第13页,共34页，2024年2月25日，星期天三求奇解（包络线）的方法C-判别曲线法

P-判别曲线法设一阶方程的通积分为1C-判别曲线法结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组消去C

而得到的曲线中。第14页,共34页，2024年2月25日，星期天设由能确定出曲线为则对参数C求导数从而得到恒等式第15页,共34页，2024年2月25日，星期天当至少有一个不为零时有或这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C))处均与曲线族中对应于C的曲线相切。注意：

C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。第16页,共34页，2024年2月25日，星期天例1

求直线族的包络，这里是参数，p

是常数。解：对参数求导数联立相加，得，经检验，其是所求包络线。xyop第17页,共34页，2024年2月25日，星期天例2

求直线族的包络，这里c

是参数。解：对参数c

求导数联立得从得到从得到因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。第18页,共34页，2024年2月25日，星期天xyo第19页,共34页，2024年2月25日，星期天2p-判别曲线结论：方程的奇解包含在下列方程组消去p

而得到的曲线中。注意：

p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。第20页,共34页，2024年2月25日，星期天例3

求方程的奇解。解：从消去

p，得到p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解。因为易求得原方程的通解为而是方程的解，且正好是通解的包络。第21页,共34页，2024年2月25日，星期天例4

求方程的奇解。解：从消去

p，得到p-判别曲线经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。注意：

以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。第22页,共34页，2024年2月25日，星期天

3克莱罗方程形式其中是

p的连续函数。解法通解奇解第23页,共34页，2024年2月25日，星期天结果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.第24页,共34页，2024年2月25日，星期天例5

求解方程解：这是克莱罗方程，因而其通解为消去

c，得到奇解从第25页,共34页，2024年2月25日，星期天xyO如图:此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:第26页,共34页，2024年2月25日，星期天例6求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。解设要求的曲线为过曲线任上一点的切线方程为其与坐标轴的交点为切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为第27页,共34页，2024年2月25日，星期天这是克莱罗方程，因而其通解为消去

c，得到奇解从这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。第28页,共34页，2024年2月25日，星期天直线族及其包络线第29页,共34页，2024年2月25日，星期天第30页,共34页，2024年2月25日，星期天利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下:注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切.restart:with(plots):forjfrom-5to-1doplot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:enddo:forjfrom1to5doplot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:enddo:plot(3*x,x=-3..3,y=-10..10,color=black):yy:=%:plot(-3*x,x=-3..3,y=-10..10,color=black):yyy:=%:display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);第31页,共34页，2024年2月25日，星期天本节要点：

1.奇解的定义。

2.不存在奇解的判别方法。

（1）全平面上解唯一（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解

3.求奇解的包络线求法。

满足C—判别式。

在非蜕化条件下，从C—判别式解出的曲线第32页