2021年初中数学竞赛辅导代数式恒等式恒等变形

初中数学竞赛：代数式、恒等式、恒等变形1．某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场变化，该店把零售价调节为本来零售价b%出售，那么调价后每件衬衣零售价是（C）A．m（1+a%）（1﹣b%）元 B．m•a%（1﹣b%）元 C．m（1+a%）b%元 D．m（1+a%b%）元解答：解：依照题意，这批衬衣零售价为每件m（1+a%）元，因调节后零售价为原零售价b%，因此调价后每件衬衣零售价为m（1+a%）b%元．点评：考查列代数式，得到调价后价格等量关系是进价本题核心．2．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么所有也许值为（A） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣2解答：解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有也许值为0．点评：本题考查了分式化简求值，涉及到绝对值、非零实数性质等知识点，注意分状况讨论未知数取值，不要漏解．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C对边，若∠B=60°，则值为（C）A． B． C．1 D．解答：解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣C2，即a2+c2=b2+ac，∴．点评：本题考查了特殊角三角函数值、勾股定理内容．在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题好办法．4．设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则值为（A） A． B． C．2 D．3解答：解：∵a2+b2=4ab，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②，得=∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，∴==3，∴=．点评：本题考查了完全平方公式及代数式求值，属于基本题，核心运用已知条件a2+b2=4ab与完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2联系找到与所求比值关系．5．已知a=x+，b=x+，c=x+，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca值为（D） A．0 B．1 C．2 D．3解答：解：∵a=x+，b=x+，c=x+，∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=×（1+1+4），=3．点评：本题重要考查公式法分解因式，达到简化计算目，对多项式扩大2倍是运用完全平方公式核心．6．设a、b、c为实数，，则x、y、z中，至少有一种值（A） A．不不大于0 B．等于0 C．不不不大于0 D．不大于0解答：解：因x+y+z={（a﹣1）2}+{（b﹣1）2}+{（c﹣1）2}+π﹣3＞0，则x、y、z中至少有一种不不大于0，点评：此题考查知识点是完全平方公式，核心是把x、y、z相加，运用完全平方公式得出x+y+z={（a﹣1）2}+{（b﹣1）2}+{（c﹣1）2}+π﹣3＞0．7．已知abc≠0，且a+b+c=0，则代数式值是（A） A．3 B．2 C．1 D．0解答：解：把a=﹣（b+c），b=﹣（a+c），c=﹣（a+b）代入，原式=，=﹣（）﹣（）﹣（），=，=．点评：本题考查了分式化简求值，属于基本题，重要是由已知条件先变形后再代入化简．8．若M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M值一定是（C） A．零 B．负数 C．正数 D．整数解答：解：M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13，=（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）=（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2≥0．点评：本题重要考查了非负数性质，将M表达式依照完全平方公式特点进行变形是解答本题核心．9．某商品标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表达d，则d=．解答：解：设成本价是1，则（1+p%）（1﹣d%）=1．1﹣d%=，d%=1﹣d=．点评：解决问题核心是读懂题意，找到所求量等量关系．保证不亏本，即让售价和成本价持平．10．已知﹣1＜a＜0，化简得﹣．解答：解：∵﹣1＜a＜0，∴a+＜0，a﹣＞0；∴==（a﹣）[﹣（a+）]=﹣．点评：解决本题核心是依照已知条件拟定a+，a﹣符号．11．已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z=8．解答：解：∵x+y=5，z2=xy+y﹣9，∴（x+1）+y=6，（x+1）•y=z2+9，∴x+1，y是t2﹣6t+z2+9=0两个实根．∵方程有实数解，∴△=（﹣6）2﹣4（z2+9）=﹣4z2≥0，∴4z2≤0，∴z2≤0，又∵z2≥0，∴z=0．解方程t2﹣6t+9=0，得x+1=3，y=3，∴x=2，y=3．∴x+2y+3z=2+2×3+3×0=8．点评：本题重要考查了一元二次方程解法，根鉴别式（△=b2﹣4ac）与方程根相应关系，根与系数关系，平方非负性及代数式求值办法，综合性较强，有一定难度．解题核心在于可以通过观测将两个已知等式改写，从而发现x+1，y是方程t2﹣6t+z2+9=0两个实根．12．已知x1、x2、…、x40都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若x12+x22+…+x402最大值为A，最小值为B，则A+B值等于494．解答：解：由于把58写成40个正整数和写法只有有限种，故x12+x22+…+x402最小值和最大值是存在．不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1﹣1）+（x2+1），且（x1﹣1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，因此，当x1＞1时，可以把x1逐渐调节到1，这时x12+x22++x402将增大；同样地，可以把x2，x3，x39逐渐调节到1，这时x12+x22++x402将增大．于是，当x1，x2，x39均为1，x40=19时，x12+x22++x402获得最大值，即A=+192=400．若存在两个数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i≤j≤40），则（xi+1）2+（xj﹣1）2=xi2+xj2﹣2（xj﹣xi﹣1）＜xi2+xj2，这阐明在x1，x3，x39，x40中，如果有两个数差不不大于1，则把较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22++x402将减小．因此，当x12+x22++x402取到最小时，x1，x2，x40中任意两个数差都不不不大于1．于是当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x12+x22+…+x402获得最小值，即，故A+B=494．点评：本题考查是整数问题综合运用，能依照完全平方公式得出其最大、最小值是解答此题核心，此题难度较大．13．计算=．解答：解：x4+4=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）=[（x+1）2+1][（x﹣1）2+1]，∴原式=．点评：本题考查因式分解应用．解决本题核心是找到题目中蕴含共性规律x4+4=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）=[（x+1）2+1][（x﹣1）2+1]．14．已知多项式ax3+bx2﹣47x﹣15可被3x+1和2x﹣3整除，则a+b=26．解答：解：由已知可知，得，解得，∴a+b=24+2=26．点评：本题考查是多项式除以多项式，注意理解整除含义，例如A被B整除，此外一层意思也就是说，B是A公因式，使公因式B等于0值，必是A一种解．15．已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x值．解答：解：由已知有a+=x，①；b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；即dx3﹣（ad+1）x2﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x3﹣2x）=0由已知d﹣a≠0，∴x3﹣2x=0若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．故有x2=2，x=±点评：此题重要考查了分式等式变形，运用未知数简介代换得出两式相乘等于0形式，是解决问题核心．16．如果对一切x整数值，x二次三项式ax2+bx+c值都是平方数（即整数平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，与否对一切x整数值，x二次三项式ax2+bx+c值都是平方数？解答：证明：（1）∵对一切x整数值，x二次三项式ax2+bx+c值都是平方数，∴令x=0，a•02+b•0+c=c，c是整数且是平方数，令x=1，﹣1时a•12+b•1+c，a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c是平方数，∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c=n12②c=k12（m1n1k1均为整数），①﹣②得：2b=m12﹣n12，∴2b为整数（整数相减为依然为整数），由①得：2a=2m12﹣2b﹣2c，∴2a为整数，∴2a，2b，c都是整数；（2）（1）中已证c是整数且是平方数，令x=2，﹣2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数），③﹣④得：4b=m22﹣n22=（m2+n2）（m2﹣n2）=2（2b），∵2b为整数，∴2（2b）为偶数，则m22﹣n22为偶数，∴（m2+n2），（m2﹣n2）同奇同偶，则可设（m2+n2）=2m，（m2﹣n2）=2n（m，n均为整数），∴4b=2m•2n=4mn，∴b=mn，∴b为整数；（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax2+bx+c=3，而3不是平方数．∴不一定成立．点评：本题考查完全平方数知识，综合性较强，难度较大，注旨在解决多项式系数和、差以及其奇偶、整问题普通思路都是用特殊值法．17．若a=19952+19952•19962+19962，求证：a是一完全平方数，并写出a值．解答：解：设x=1995，则1996=x+1，因此a=19952+19952•19962+19962=x2+x2（x+1）2+（x+1）2=（x+1）2﹣2x（x+1）+x2+2x（x+1）+x2（x+1）2=（x+1﹣x）2+2x（x+1）+[x（x+1）]2=1+2x（x+1）+[x（x+1）]2=[1+x（x+1）]2=（1+1995×1996）2=39820212．故a是一完全平方数，a值为39820212．点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算作用．18．设a、b、c、d是四个整数，且使得是一种非零整数，求证：|m|一定是个合数．解答：解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为不不大于1正整数即可．====由于m是非零整数，则是非零整数．由于四个数a+b+c﹣d，a+b﹣c+d，a﹣b+c+d，﹣a+b+c+d奇偶性相似，乘积应被4整除，因此四个数均为偶数．因此可设a+b+c﹣d=2m1，a+b﹣c+d=2m2，a﹣b+c+d=2m3，﹣a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数．因此m=（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，因此|m|=4|m1m2m3m4|≠0，因此|m|是一种合数．点评：本题考查是质数与合数定义、因式分解、奇数与偶数定义、绝对值性质，涉及面较广