2021年新课标七年级数学竞赛培训第二十讲线段

第二十讲线段平面几何是研究平面图形(planeflgure)性质一门学科，重要是研究平面图形形状、大小及位置关系．构成平面图形基本元素是点和线，在线中，最简朴、最常用就是线段、射线或直线，它们概念、性质及画图是后续学习研究由线段所构成比较复杂图形(如三角形、四边形等)基本．几何中线段、射线、直线等概念是从现实有关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类性质，但却为现实问题解决提供了有力工具，使得许多问题研究可以转化为直观、简要几何图形研究．解决与线段有关问题，惯用到中点、代数化、枚举与分类讨论等有关概念与办法．例题【例1】平面内两两相交6条直线，其交点个数至少为个，最多为个．(“但愿杯”邀请赛试题)思路点拨画图探求，从简朴情形考虑，从特殊情形考虑．注：几何原意是“测地术”，相传来源于四千近年前土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整顿了前人和当时几何知识，写成了巨著《几何原本》．当今，几何巳形成构造严密科学体系，成为数学中一种重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力最有效学科之一．求满足一定条件某种几何图形个数叫几何图形计数，惯用到穷举、归纳、逆推等办法，读者思考如下典型问题：线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?(2)n条直线两两相交直线最多有几种交点?(3)n条直线最多能把平面提成几种区域?【例2】如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB中点，N是线段AC中点，P为NA中点，Q为MA中点，则MN：PQ等于()．A．1B．2C．3D．4(“五羊杯”邀请赛试题)思路点拨运用中点，设法把MN、PQ用含相似线段代数式表达．【例3】如图，C是线段AB中点，D是线段AC中点，已知图中所有线段长度之和为23，求线段AC长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．【例4】摄制组从A市到B市有一天路程，筹划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一种小镇，只行驶了原筹划三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程一半就到达目地了，问A、B两市相距多少千米?(“华杯赛”试题)思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，因此应当集中注意于名段路程之间关系，画线段图分析，借助图形思考．【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(2)如图b，已知A、B在直线l同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(3)如图c，有一正方体盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子内顶点A处有一只蜘蛛，而在对角顶点C处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么途径爬行，才干在最短时间内捕获到苍蝇?(假设苍蝇在Cl处不动)思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等办法，化曲为直．注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角计算问题代数化，是解与线段、角有关计算问题重要办法．数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形角度加以解决．“谋定而后动”，解题办法选取建立在分析基本上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系有关．【例6】摄制组从且市到月市有一天路程，筹划上午比下午多走100km到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一种小镇，只行驶了原筹划三分之一，过了小镇，汽车赶了400km，傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程一半就到达目地．问A、B市相距多少千米?思路点拨画出线段图进行分析．如图13—1所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息．∵GE=2EB，∴GE=BC∵AD=AC，∴DC=AC．∵DC+CE=（BC+AC）=AB∴DE=AB，又DE=400km；∴AB=600km．注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛应用．同窗们想一想，“筹划上午比下午多走100km”这个条件是必须吗?如果把司机话改成“再走C市到这里路程就到达目地”，需要前面条件吗?请同窗们自己试完毕解答．【例7】如图13-7所示，在一条河两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥方向与河流垂直，设河宽度不变，试问：桥架在何处，才干使从A到B距离最短?思路点拨虽然A、B两点在河两侧，但连结AB线段不垂直于河岸．如图13-8，核心在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办使P与D重叠起来，运用平行四边形特性可以实现这一目。如图13-9，建立在PD处符合题意．注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这样简朴，需要咱们将某些线段进行转化，即用与它相等线段代替，从而转化成两点之间线段最短问题．当前，往往运用对称性、平行四边形有关知识进行转化，后来还会学习某些线段转化办法．学力训练1．如图，已知B、C是线段AD上两点，M是AB中点，N是CD中点，MN=a，BC=b，则线段AD=．2．从哈尔滨开往A市特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间票价都不相似，那么有种不同票价．(黑龙江省中考题)3．如图，AB＝a，BC＝，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F为端点所有线段长度和为．(“数学新蕾”邀请赛试题)4．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线条数是()．A．1条B．4条C6条D．1条或4条或6条5．如图，若C是线段AB中点，D是线段AC上任一点(端点除外)，则()．A．AD．DB<AC．BCB．AD．DB=AC．BCC．AD．DB>AC．BCD．它们大小关系不能拟定(广州节中考题)6．线段AB＝1996厘米，P、Q是线段AB上两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP＝1050厘米，则线段PQ＝()厘米．A．254B．150C．127D．8717．如图，线段AB=2BC，DA=AB，M是AD中点，N是AC中点，试比较MN和AB十NB大小．8．已知A、B、C三点在同始终线上，若线段AD＝60，其中点为M；线段BC＝20，其中点为N，求MN长．9．线段AB上有P、Q两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ=．10．将长为20cm一条线段围成一种六边形，则围成六边形中最长边取值范畴是．11．如图，C是线段AB上一点，D是线段CB中点．已知图中所有线段长度之和为12．线段AC长度与线段CB长度都是正整数，则线段AC长度为．（“但愿杯”邀请赛试题)13．五位朋友a、b、c、d、e在公园约会，会面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次．到当前为止，e握了()次．A．1B．2C．3D．4(重庆市竞赛题)14．平面内有条直线(n≥2)，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，至少可以得到b个交点，则a+b值是()．A．n(n一1)B．n2一n+1C．D．15．如图，小圆圈表达网络结点，结点之间连线表达它们之间有网线相联，连线标注数字表达该网线单位时间内可以通过最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同步传递，由单位时间内传递最大信息量为()．A．19B．20C．24D．26(全国高考数学试题)16．某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，BN有15人，C区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，公司接送车打算在此间只设一种停靠点，为要使所有员工步行到停靠点路程总和至少，那么停靠点位置应在()．A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间(江苏省竞赛题)17．(1)一条直线可以把子面提成两个某些(或区域)，如图，两条直线可以把平面提成几种某些?三条直线可以把平面提成几种某些?试画图阐明．(2)四条直线最多可以把平面提成几种某些?试画出示意图，并阐明这四条直线位置关系．(3)平面上有n条直线。每两条直线都正好相交，且没有三条直线交于一点，处在这种位置n条直线分一种平面所成区域最多，