实际问题与二次函数教案

科目数学课题26.3实际问题与二次函数(2)授课教师单位教材版本人教版课型新授课教材分析本节内容为人教版九年级下册第26章《二次函数》中第3节实际问题与二次函数内容，重点研究建立合适的坐标系解决实际问题。培养学生分析问题能力，根据实际要求合理建立坐标系，设出适当的解析式形式，从而有效解决问题的能力。学情分析学生在掌握了二次函数的几种解析式设法，并能够进行有效计算的前提下进行。教学目标.复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。教学重点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点教学难点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式解决实际问题教法学法教师引导合作探究教学准备幻灯片教学过程师生活动设计意图一、复习巩固.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式？.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(—1,1)。(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。答案：(1)y=x2+x+l,(2)图略，⑶对称轴x=一1,顶点坐标为(一1,3)。2 2 4.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴，顶点坐标各是什么？[对称轴是直线x=一；,顶点坐标是(一；，4aCb)]2a 2a 4a二、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？复习旧识巩固基础分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点。的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y=ax分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点。的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y=ax2(a<0) ⑴因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB=AB=2(cm),2根据创设的实际问题情境，引导学生合理选择抛物线解析式形式，让学生充分理解解析式的灵活设法。又CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,—0.8)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1),得一0.8=aX22 所以a=—0.2因此，所求函数关系式是y=-0.2x2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。三、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系？让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2,若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗？分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB,AC=2m,。点坐标为(2；0.8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0,0)、(4,0)；(2,0.8)三点，求这个二次函数的关系式。二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c,求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定。、6、c,已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。解：设所求的二次函数关系式为y=ax2+bx+c。因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m,所以。点坐标为(2,0.8),A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0)。由已知，函数的图象过(0,0),可得c=0,又由于其图象过学生在选择不同的解析式形式的过程中，体验着如何选择最优化解析式形式，这个思维优化的过程很重要，让学生深入体会(2,0.8)、(4,0),可得到，4a+2b=0.816+4b=0<解这个方程组，得a=所以，所求的二次函数的关系式为丫=Mix。问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同？问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么？（第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易）四、课堂练习图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？（学生讨论，用不同的方法解决问题）教材中的例3,在有了前面例题的基础上，学生可以通过合作探究的方式自主完成。三种不同的解法让学生体会模型构建的过程，在函数问题中很重要2.已知一次函数当x——3时，有最大值一1,且当x—0时，y——3,求二次函数的关系式。解法1：设所求一次函数关系式为y—ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c—3,又由于一次函数当x——3时，有最大值一_b_0 _4”,\—2a——3 / <a—91,可以得到：19 . 解这个方程组，得：12a—b2 8 ——1 b--I4a 1 1b3所以，所求一次函数的关系式为y—4x2+|x+3。9 3解法2：所求一次函数关系式为y—a(x+h)2+k,依题意，得y—a(x+3)2—1因为一次函数图象过点(0,3),所以有 3—a(0+3)2—1-, 4解得a—9所以，所求一次函数的关系为y—44/9(x+3)2—1,即y—4x29.|,.十x十3.3小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知一次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。3.已知一次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,—2),求一次函数关系式。PLIF简解：依题意，得/ 解得：p——10,q—234q—p2I4一所以，所求一次函数的关系式是y—x2—10x+23。五、当堂小结1,求一次函数的关系式，常见的有几种类型？两种类型：(1)一般式：y—ax2+bx+c(2)顶点式：y—a(x-h)2+k,其顶点是(h,k)2.如何确定一次函数的关系式？让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。六、课后作业：(随机选择).已知抛物线的顶点坐标为(一1,—3),与y轴交点为(0,—5),求一次函数的关系式。.函数y—x?+px+q的最小值是4,且当x—2时，y—5,求p和q。.若抛物线y——x?+bx+c的最高点为(一1,—3),求b和巩固配套练习，让学生熟悉并掌握选取合适解析式一般形式的方法。对本节课内容进行归纳和总结，使学生认知系统化作业依据本节课学生实际学习情况选取，便于灵活和分层。

c。.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,1),B(—1,0),C(1,0),那么此函数的关系式是。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是。.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,—5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的关系式。.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4、M米，水位上升3米就达到警戒线CD,这时