高考数学大二轮复习专题二函数与导数2.2基本初等函数、函数与方程练习

PAGEPAGE12.2基本初等函数、函数与方程【课时作业】A级1．(2018·福建市第一学期高三期末考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：令f(x)＋3x＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.答案：C2．若函数f(x)满足f(1－lnx)＝eq\f(1,x)，则f(2)等于()A.eq\f(1,2) B．eC.eq\f(1,e) D．－1解析：法一：令1－lnx＝t，则x＝e1－t，于是f(t)＝eq\f(1,e1－t)，即f(x)＝eq\f(1,e1－x)，故f(2)＝e.法二：由1－lnx＝2，得x＝eq\f(1,e)，这时eq\f(1,x)＝eq\f(1,\f(1,e))＝e，即f(2)＝e.答案：B3．(2018·惠州市第二次调研)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sineq\f(2π,5)，则()A．b>c>a B．b>a>cC．c>a>b D．a>b>c解析：依题意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sineq\f(2π,5)<1，2>1，得c<0，故a>b>c，故选D.答案：D4．(2018·河南濮阳一模)函数f(x)＝ln2x－1的零点所在区间为()A．(2,3) B．(3,4)C．(0,1) D．(1,2)解析：由f(x)＝ln2x－1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)＝ln2－1<0，f(2)＝ln4－1>0，根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上，故选D.答案：D5．已知函数f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是()A．(－1，－log32) B．(0，log52)C．(log32,1) D．(1，log34)解析：∵单调函数f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，故选C.答案：C6．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D．eq\f(ln3,5)解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).答案：C7．已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为()A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数解析：由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))＝lgeq\f(x＋1,1－x)，令eq\f(x＋1,1－x)>0，则－1<x<1，排除A、B，又y＝eq\f(2,1－x)－1＝－1＋eq\f(－2,x－1)在(－1,1)上是增函数，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．选D.答案：D8．(2018·山东潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是()解析：因函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，故0<a<1.易知函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<－1}，x>1时函数y＝loga(|x|－1)的图象可以通过函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到，故选C.答案：C9．已知x0是f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0解析：因为x0是函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递减函数，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，所以f(x1)>f(x0)＝0>f(x2)．答案：C10．已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a＝－21.2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8，c＝2log52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(c)<f(b)<f(a) B．f(c)<f(a)<f(b)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)解析：依题意，注意到21.2>20.8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.8>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2)<f(20.8)<f(2log52)，由函数f(x)是偶函数得f(a)＝f(21.2)，因此f(a)<f(b)<f(c)，选C.答案：C11．(2018·安徽安庆二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x∈[0，1，,2－x2，x∈[－1，0，))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)有2个零点．故选B.答案：B12．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<eq\f(3,4)x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq\f(3,4)x－1.当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2－1≤eq\f(3,4)×2－1，即a≤eq\f(1,2)，所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：B13．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数的图象上，对应的幂函数f(8)＝________.解析：函数y＝loga(2x－3)＋eq\r(2)的图象恒过点P(2，eq\r(2))．设幂函数为f(x)＝xa，则2a＝eq\r(2)，所以a＝eq\f(1,2)，所以幂函数为f(x)＝xeq\f(1,2)，所以f(8)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1＋ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.答案：－215．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是0<a≤1.答案：(0,1]16．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.解析：设横断面的高为h，由题意得AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h＝eq\f(1,2)(2BC＋x)·eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)>0，))得2≤x<6，所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x<6)，从而y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq\r(3)，当且仅当eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq\r(3)时等号成立．答案：2eq\r(3)B级1．设函数f(x)＝e|lnx|(e为自然对数的底数)．若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，则下列结论一定不成立的是()A．x2f(x1)>1 B．x2f(x1)＝1C．x2f(x1)<1 D．x2f(x1)<x1f(x2)解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(elnx＝x，x≥1，,e－lnx＝\f(1,x)，0<x<1，))作出y＝f(x)的图象如图所示，若0<x1<1<x2，则f(x1)＝eq\f(1,x1)>1，f(x2)＝x2>1，x2f(x1)>1，则A成立．若0<x2<1<x1，则f(x2)＝eq\f(1,x2)>1，f(x1)＝x1>1，则x2f(x1)＝x2x1＝1，则B成立．对于D，若0<x1<1<x2，则x2f(x1)>1，x1f(x2)＝1，则D不成立；若0<x2<1<x1，则x2f(x1)＝1，x1f(x2)>1，则D成立．故选C.答案：C2．(2018·广州市高中综合测试(一))已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x2)，x<－1，,lnx＋2，x≥－1，))g(x)＝x2－2x－4.设b为实数，若存在实数a，使得f(a)＋g(b)＝1成立，则b的取值范围为________．解析：x<－1时，f(x)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，故－eq\f(1,4)≤f(x)<0；x≥－1时，x＋2≥1，ln(x＋2)≥0，故f(x)≥0，所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))，若存在实数a，使得f(a)＋g(b)＝1成立，则有g(b)＝b2－2b－4≤eq\f(5,4).即4b2－8b－21≤0，解得－eq\f(3,2)≤b≤eq\f(7,2)，则b的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(7,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(7,2)))3．已知f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋x－5＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－6，x≥\f(1,2)，,－x－4，x<\f(1,2).))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,3x－6≥0，))解得x≥2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－x－4≥0，))解得x≤－4.所以f(x)≥0的解集为{x|x≥2或x≤－4}．(2)由f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，观察可以知道，当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2)．4．(2018·江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解析：(1)如图，连接PO并延长交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面积为eq\f(1,2)×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝eq\f(1,4)，θ0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).当θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0，\f(π,2)))时，才能作出