山西省吕梁市离石区信义中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省吕梁市离石区信义中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，?圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r．解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：A．2.设全集,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则A.{1}

B.{2}

C.{1，2}

D.{-1，1}参考答案：B略3.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）A．

B．C．D．参考答案：D略4.对a，b∈R，记max{a，b}=，则函数(

) A．有最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，无最大值参考答案：C考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数是函数y=|x+1|与函数y=同一个x取得的两个函数值的较大的值；作图求解．解答： 解：函数是函数y=|x+1|与函数y=同一个x取得的两个函数值的较大的值；作函数y=|x+1|与函数y=的图象如下，，由图象可知，令=x+1得，x=或x=；故当x=时，f（x）的最小值为；故f（x）有最小值，但没有最大值．故选C．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及函数的最值的应用，属于中档题．5.函数f（x）=（﹣1）?sinx的图象大致形状为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）?sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）?sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）?sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）?sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．6.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)=的图象上，则数列{an}的通项公式为（）A．B．C．D．参考答案：D【知识点】数列的递推关系积分因为，，时，，时，

所以，

故答案为：D7.如图所示的程序框图，它的输出结果是A．

B．

C． D．参考答案：C8.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A．

B．C．

D．参考答案：C略9.已知函数满足对任意，都有

成立，则的取值范围为（

）A.

B.(0,1)

C.

D.

(0,3)参考答案：A10.若是的最小值，则的取值范围为（

）.(A)[-1,2]

(B)[-1，0]

(C)[1，2]

(D)参考答案：D解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______.参考答案：12.的值为

．参考答案：1原式

13.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.参考答案：36414.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．参考答案：设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大，且最大值为.

15.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，，若，则实数t=_______。参考答案：216.设，，则

的值为

.参考答案：3略17.两个向量,满足，，,的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.⑴求频率分布直方图中的值.⑵为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿.请根据抽样数据估计该校1600名新生中有多少学生可申请在校内住宿.参考答案：⑴

…………5分⑵新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

…………9分该校1600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为

…12分19.设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于a，b的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，直接求出|AB|=，C到直线AB的距离d=，可得△ABC的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0可得k与m的关系，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积，由O为△ABC的重心求得C的坐标把C点坐标代入椭圆方程，可得4m2=12k2+9．由弦长公式求得|AB|，再求出点C到直线AB的距离d，代入三角形面积公式整理得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形PQRS是圆C0外切平行四边形，∴，又四边形PQRS的面积S=，联立解得a2=12，b2=9，故所求椭圆C1的方程为；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，∵O为△ABC的重心，∴C为椭圆的左、右顶点，不妨设C（，0），则直线AB的方程为x=，可得|AB|=，C到直线AB的距离d=，∴=．当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣36）=48（12k2+9﹣m2）＞0．即12k2+9＞m2，，，∴．∵O为△ABC的重心，∴，∵C点在椭圆C1上，故有，化简得4m2=12k2+9．∴=．又点C到直线AB的距离d=（d是原点到AB距离的3倍得到）．∴=．综上可得，△ABC的面积为定值．20.（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求线段的长；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：连接．

因为是直三棱柱，

所以平面，

………………1分

所以．

………………2分

因为，

所以平面．

………………3分因为，，所以．………………4分（Ⅱ）证明：取中点，连接，．

………………5分在△中，因为为中点，所以，．

在矩形中，因为为中点，所以，．

所以，．

所以

四边形为平行四边形，所以．

………………7分

因为平面，平面，

………………8分

所以//平面．

………………9分

（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面．………11分证明如下：连接．在正方形中易证．又平面，所以，从而平面．…………12分所以．

………………13分同理可得，所以平面．故线段上存在点，使得平面．

………………14分21.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校