江苏省南京市清水亭中学高三数学理期末试题含解析

江苏省南京市清水亭中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影为(

）A．

B．

C.

D．参考答案：D2.已知的三边长为所在平面内一点，若，则点是的（

）

外心

内心

重心

垂心参考答案：B略3.计算的结果等于(

)A．B．C．

D．参考答案：D试题分析：．故选D．考点：诱导公式，两角差的正弦公式．4.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

A．4

B．5

C．6

D．7

参考答案：B略6.将圆平分的直线方程是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p?q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p?q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．8.右图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A.84,4.84

B.84,1.6C.85,1.6

D.85,4参考答案：C略9.偶函数定义在上，且，当时，总有，则不等式的解集为（

）

A.且

B.或

C.且

D.或

参考答案：B因为是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式的解集也应是对称的，所以D排除；当时，总有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因为，所以，所以即是恒成立，可见函数在上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，所以在上单调递减。又，所以，所以的图象如下：所以在时，，而，所以成立而在时，，而，所以,又由函数的图象对称性可知，选B.10.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（

）A．甲

B．乙

C．甲乙相等

D．无法确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2，3)，(4，6，5)，(8，12，10，7)，(16，24，20，14，9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，（1）、第7群中的第2项是：

；（2）、第n群中n个数的和是：

参考答案：96，3·2n－2n－3

12.已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为，若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn}，则的值为_______.参考答案：256【分析】利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果．【详解】数列的通项公式为，数列的数据符合平方的数有：16，36，81，121，169，256．数列的通项公式为，当，6，9，11，13，16时符合上面各个数．数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则的值为256，故答案为256.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是．参考答案：（8，0，0）或（2，0，0）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：设出P的坐标，利用PA=5，求解即可．解答：解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，﹣6），PA=7，∴解得a=8或2∴P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．14.下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上的点m，如图①：将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1），如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作。下列说法中正确命题的序号是_________（填出所有正确命题的序号）.①

②是奇函数

③在定义域上单调递增

④是图像关于点对称。参考答案：略15.已知函数，若，则的值为

.参考答案：-1

函数有意义，则必须满足：，此时，则：，据此整理函数的解析式：，据此可得，结合可得：.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．16.已知tanα=，则tan（α+）=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由两角和与差的正切函数公式即可求值．【解答】解：tan（）===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查．17.函数的定义域为

.参考答案：（三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）已知点…，在直线上，点…，顺次为x轴上的点，其中，对任意n,点构成以为顶角的等腰三角形，设△的面积为（1）证明：数列是等差数列；（2）求；(用a和n的代数式表示)；（3）设数列的前n项和为，判断与的大小，并证明你的结论。参考答案：（1）由于点B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn）（）在直线上则

因此，所以是等差数列（2）由已知有得

同理

∴

∴

∴（3）由（2）得，则∴∴∴由于

而则，从而同理：……以上个不等式相加得：即，从而19.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x（1）若函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若a＞0，讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴可得，g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1；（2）g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3=，设t（x）=2ax2﹣3x+1，△=9﹣8a，①当0＜a＜时，设t（x）=0的两根为x1=，x2=，由g′（x）＞0可得x＞x2，或0＜x＜x1；由g′（x）＜0可得x＞x2，或＜x1＜x＜x2，即g（x）的单调增区间为（0，），（，+∞）；单调减区间为（，）；②当a≥时，2ax2﹣3x+1≥0恒成立，g′（x）≥0恒成立，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；（3）证明：依题意得k==，＜k＜?＜＜?x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则h′（x）=1﹣，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则m′（x）=1﹣，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．20.（本小题满分l3分）已知数列，前n项和满足，(I)求的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和；(III)设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．参考答案：21.设等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1，n=1时，2a1=a2﹣1，可得2a1=a1+2a1﹣1，解得a1，d．利用通项公式即可得出．（2）bn==，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的公差为d，且2a1=d，2an=a2n﹣1，n=1时，2a1=a2﹣1，可得2a1=a1+2a1﹣1，解得a1=1．∴d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）bn==，∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+，∴=+…++，∴=2﹣=+2×﹣，∴Sn=3﹣．22.已知函数.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若函数在上有零点，求a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2