吉林省长春市榆树弓棚中学校高三数学理联考试卷含解析

吉林省长春市榆树弓棚中学校高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在棱长为的正方体中，若为的中点，则点到平面的距离为.

. .

.参考答案：A略2.设过曲线(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－1,2] D．[－2,1]参考答案：C成立即 3.已知a，b是实数，则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略4.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中

项,,则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.i是虚数单位，复数的模为（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：C略6.若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为(

)

A．

B．

C．1

D．参考答案：A略7.已知，其中是实数，是虚数单位，则A．3

B．2

C．1

D．参考答案：A8.抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若三角形的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为36，则的值为A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案解析】D

解析：：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，

∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，

又∵圆心在OF的垂直平分线上，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．9.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．34+6 B．44+12 C．34+6 D．32+6参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．10.平面向量的夹角为等于A. B. C.12 D.参考答案：B【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F2

由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的渐近线方程为y=x，则双曲线的焦点坐标是．参考答案：（）

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．12.已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为

．参考答案：13.函数的定义域为______.参考答案：[0,+∞)【分析】由函数有意义，得到，即可求解函数的定义域，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.已知a，b为正实数，且，则的最小值为

．参考答案：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：

15.包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．分析：先求出基本事件总数，再求出甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数，由此能示出甲与乙、丙都相邻的概率．解：包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，基本事件总数n=，甲与乙、丙都相邻包含的基本事件个数m==4，∴甲与乙、丙都相邻的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．16.为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（

）A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度参考答案：17.以双曲线的左焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是__▲__.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值。参考答案：解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，∵是的中点，∴∵平面，平面，∴∥平面.…6分(2)法一：设,∵,∴,且，作，连∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…………12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，，，.∴，，，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.…………12分

略19.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线ly=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为【思路点拨】（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．20.已知数列的前n项和为且，数列满足且．（１）求的通项公式；（２）求证：数列为等比数列;（３）求前n项和．参考答案：解：(1)由得,∴

(2)∵,∴,∴;，∴由上面两式得,又。∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)得，∴,（求和的最小值）：=，∴是递增数列.当n=1时,<0；当n=2时,<0；当n=3时,<0；当n=4时,>0，∴,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.略21.（本小题满分12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为和，且与共线.（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由已知得，∴，∵与共线，∴，又

（3分）∴，∴椭圆E的标准方程为

（5分）（Ⅱ）设,把直线方程代入椭圆方程，消去y，得，,∴,

（7分）(*)

（8分）∵原点O总在以PQ为直径的圆内，∴，即

（9分）又由得，依题意且满足(*)

（11分）故实数m的取值范围是

（12分）22.（本小题满分14分）设函数，．（注：e为自然对数的底数．）(1)当时，求的单调区间；(2)(i)设是的导函数，证明：当时，在上恰有—个使得(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立．参考答案：解：(1)当时，

…………1分，令得：；令得：所以函数的减区间是；增区间是

…………3分(2)(i)证明：

………4分，且，令得：；令得：则函数在上递减；在上递增

………6分，又所