福建省福州市长乐高级中学高三数学理联考试题含解析

福建省福州市长乐高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，，若有4个零点，则a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=,则h′（x）=，则x=，且在（0，）单增，在（）上单减，∴y的大致图像如图：又h()=若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．

2.已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1，其中的值及a的正负分别为

（

）A．4，正

B．4，负

C．

D．

参考答案：B3.已知的值（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可．【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣=cos（）=﹣sinα=．故选：D．4.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为()A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,

过点，又得，，图象向右平移个单位后

故答案为：C5.下列四个命题中的真命题为A．若,则

B．若，则C．若，且，则

D．若，则、、成等比数列参考答案：C6.已知集合，，，则的子集共有（

）A．2个

B．4个

C．6个

D．8个参考答案：B7.在正项等比数列{an}中，a1008a1010=，则lga1+lga2+…+lga2017=（）A．﹣2016 B．﹣2017 C．2016 D．2017参考答案：B【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==，解得a1009=．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{an}中，可得a1a2017=a2a2016=…=a1008a1010==，解得a1009=．则lga1lga1+lga2+…+lga2017==2017×（﹣1）=﹣2017．故选：B．8.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为 （

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.复数(1－i)2+的共轭复数是（）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，则复数的共轭复数是：1+i．故选：A．10.非零向量使得成立的一个充分非必要条件是A.

B.

C.

D.

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数，满足约束条件则的取值范围是

．参考答案：画出不等式表示的平面区域，在点（3，0）处，取得最小值－6，在点（－3,3）处取得最大值15。12.在极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，则点到直线的距离等于．参考答案：试题分析：由题意可知直线的直角坐标方程为，根据坐标间的转换关系，可知点的直角坐标为，根据点到直线的距离公式，可知所求的值为.考点：极坐标方程和直角坐标方程的转化，点到直线的距离.13.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.参考答案：12014.在中，若，的面积为，则角

.参考答案：略15.设n为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

．参考答案：112由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得n=8，则，令，r=2，则展开式中的常数项为.

16.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=，其中，则的取值范围是________.

参考答案：17.已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为．参考答案：5+2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；7F：基本不等式．【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：y=ln（x+b）的导数为y′=，由切线的方程y=x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2．当且仅当a=b，即a=，b=3﹣时，取得最小值5+2．故答案为：5+2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数是定义在上的奇函数，当，（1）画出图象；（2）求出的解析式.

参考答案：解：（1）如右图（5分）

（2）（7分）设

略19.设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.参考答案：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.

………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.

………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根．

………………6分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．

………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.

………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.

………………12分要证明，即证，即证，即证.

………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.

………………16分20.（本小题满分13分）已知点是椭圆E：（）上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，轴．（1）求椭圆的方程；（2）设、是椭圆上两个动点，．求证：直线的斜率为定值；参考答案：解：（1）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；

……5分（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,-），所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①又，，两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②以①式代入可得AB的斜率k=为定值；

……13分21.（12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童肥胖问题日益严重的主要原因之一．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．

常喝不常喝合计肥胖

2

不肥胖

18

合计

30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2≥K）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）参考答案：考点： 独立性检验的应用．专题： 应用题；概率与统计．分析： （1）根据全部30人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．解答： 解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x=6； 常喝 不常喝 合计肥胖 6 2 8不胖 4 18 22合计 10 20 30﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评： 本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．22.如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，,.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只需证平面即可.（Ⅱ）分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可.试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，，因为是边长为2的正三角形，所以，，①又，所以，且，于是，从而，②由①②得平面，而平面，所以平面平面.（