湖南省益阳市新港中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省益阳市新港中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为=，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为=，当输出结果为521时，i=1001，m=521，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.126，故选B．2.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（）A.相离. B.相切. C.相交. D.随m的变化而变化.参考答案：D直线AB的方程为.即，所以直线AB的方程为,因为,所以,所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.3.有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题．②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则”的逆否命题．其中真命题为()A．①②

B．②③

C．④

D．①②③参考答案：D4.化简的结果是 （

） A． B． C． D．参考答案：B略5.，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为

A．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A略6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为,(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25

B．75,16C．60,25

D．60,16参考答案：D7.若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是

A．

B.

C.

D.参考答案：C9.若，且，，，则大小关系为（

）

参考答案：A10.复数（i是虚数单位）的虚部是（

）A.3i B.6i C.3 D.6参考答案：C【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】解：复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点A，B.若，则△FAB的面积的最大值是

．参考答案：由于抛物线的焦点为，故，抛物线方程为，联立得，.由于直线和抛物线有两个交点，故判别式，解得.由弦长公式得.焦点到直线的距离为.故三角形的面积为，由于，故上式可化为.令，，故当时，函数递增，当时，函数递减，故当时取得最大值，此时=.

12.设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13.函数的定义域是．参考答案：[4，+∞）略14.已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为

．参考答案：2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，从而求出函数的零点即可．解答： 解：由题意，f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，显然x=1是函数f（x）的零点，当x＞1时，令1﹣lnx=0得，x=e；则x=e是函数f（x）的零点；当0＜x＜1时，﹣1+lnx＜0，故没有零点；故函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为2；故答案为：2．点评：本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．15.已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为，若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn}，则的值为_______.参考答案：256【分析】利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果．【详解】数列的通项公式为，数列的数据符合平方的数有：16，36，81，121，169，256．数列的通项公式为，当，6，9，11，13，16时符合上面各个数．数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则的值为256，故答案为256.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为

．（参考数据：若ξ服从N（μ，δ2），有P（μ﹣δ＜ξ≤μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜ξ≤μ+2δ）=0.9544，P（μ﹣3δ＜ξ≤μ+3δ）=0.9974）参考答案：0.1587【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ）内取值的概率分别为0.6826即可得出结论．【解答】解：∵服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ）内取值的概率分别为0.6826，随机变量ξ服从正态分布N，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为×（1﹣0.6826）=0.1587，故答案为0.1587．17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_____。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，。（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）;（2）

【知识点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数N4解析：（1）当时，由得|2x+1|≥x，两边平方整理得，解得∴原不等式的解集为（5分）

（2）由得，令，即

（7分）

故，故可得到所求实数的范围为

（10分）【思路点拨】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围.19.(本题满分13分)抛物线P：x2＝2py上一点Q(m，2)到抛物线P的焦点的距离为3，A，B，C，D为抛物线上的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1),C(x2，y2)，－x0<x1<x0<x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)证明：∠CAD＝∠BAD；(Ⅲ)D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m＋n＝，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．参考答案：20.已知定义在R上的二次函数满足，且的最小值为0，函数，又函数。（I）求的单调区间；（II）当≤时，若，求的最小值；（III）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点A（），当时，探求函数图象上是否存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴，并说明理由。（参考数据：e=2.71828…）参考答案：解：（I）可得又在x=0时取得最小值0，令当x变化时，，的变化情况如下表：（0，）（，＋）＋0－增函数极大值减函数所以，的单调递增区间是（0，），的单调递减区间是（，＋）。

…………5分（II）≤时，≥1，

时，的最小值为与中的较小者.

……7分又≤时，的最小值；

当时，的最小值

……9分（III）证明：若二次函数图象过（4，2）点，则，所以

令

由（I）知在（0，2）内单调递增，

故

…………11分

取则

所以存在

即存在所以函数图象上存在点B（）（），使A、B连线平行于x轴.

………………14分21.(本小题满分12分)为了宣传今年10月在某市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．参考答案：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知.

…1分∴a=100×0.020×10×0.9=18，……3分

,

……5分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人．

……7分设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B3，第4组的