高等数学：函数的单调性及其极值

函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图、。图中函数的图像在内沿轴的正向上升，除点处的切线平行于轴外，图曲线上其余点处的切线与轴的夹角均为锐角，即曲线在区间内除个别点外切线的斜率为正；而图中函数的图像在内沿轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与轴的夹角均为钝角，即曲线在区间内除个别点外切线的斜率为负。由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。设函数在区间内可导，在内任取两点和（），在区间上应用拉格朗日中值定理，得（）（1）由于在（1）式中，因此，若在内导数的符号保持为正，即，那么也有，于是即表明函数在区间上单调增加。同理，若在内导数的符号保持为负，即，那么也有，于是即表明函数在区间上单调减少。归纳以上讨论，有如下判定定理。定理1设函数在内可导，若在内(1),则函数在上单调增加；(2),则函数在上单调减少。注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，因而导数在区间内个别点处的值为零并不影响函数在整个区间上的单调性。例如，函数在处的导数值为零，但在定义域内是单调增加的。例1讨论函数的单调性。解：该函数的定义域为，又因为在内，所以该函数在内单调减少；而在内，所以该函数在内单调增加。例2讨论函数的单调性。解：该函数的定义域为，当时，该函数的导数为；当时，函数的导数不存在。在内，所以函数在内单调减少；而在内，所以函数在内单调增加。注：在例1中，是函数的单调增减区间的分界点，而在该点处，即是函数的驻点。在例2中，是函数的单调增减区间的分界点，而在该点处导数不存在。由此可见，在讨论函数的单调性时，首先要用函数的驻点及不存在的点来划分函数的定义区间，然后在各部分区间上讨论的符号，从而确定函数的单调性。例3讨论函数的单调性。解：该函数的定义域为，令得驻点，此外，为该函数的不可导点。点及将定义区间分成三个子区间：、、。列表讨论在各子区间上导数的符号，从而确定函数的单调性：＋－＋↗↘↗从上表可见，函数在区间和上是单调增加的，在区间上是单调减少的。*2、利用函数的单调性证明不等式一般地，若当时，，且在上连续，，则在区间内有。事实上，当时，，即函数在区间上单调增加，又在上连续，则对于任意的，有。例4试证明：当时，。证明：设，显然在区间上连续且可导，且当时，，又，故当时，，即二、函数的极值及其求法1、极值的概念在例3中我们看到，点及是函数的单调增减区间的分界点。由于在点的左侧邻近，函数是单调增加的，在点的右侧邻近，函数是单调减少的，因此，存在着点的一个去心邻域，对于这个去心邻域内的任何点，均成立，即曲线在点处达到“峰顶”。类似地，关于点也存在一个去心邻域，对于这个去心邻域内的任何点，均成立，即曲线在点处达到“谷底”。具有这种性质的点在数学上称为函数的极值点，它有如下一般性的定义。定义设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有（或）则称是函数的一个极大值（或极小值），而点称为函数的极大值点（或极小值点）极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。注：函数的极值的概念是局部性的。如果是函数的一个极大值（或极小值），只是就邻近的一个局部范围内是最大的（或最小的），若就的整个定义域来说，不见得是最大的（或最小的）。正是由于极值概念的局部性，一个函数的极大值和极小值之间不具有可比性，即极大值不一定大于极小值。2、极值的必要条件从例1、例2的函数图像上可以看到，在函数取得极值的点处，如果曲线有切线，则该切线是水平的。但曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值，例如，在对应点处有水平切线，但从其图像上可见，并不是它的极值。定理2（必要条件）设函数在点可导，且在处取得极值，则。注：定理2表明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点（如的点），它只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值（如例2，在处不可导，但函数在该点取得极小值）。既然驻点及不可导点仅是函数可能的极值点，那么怎样判定函数在驻点或不可导点处究竟是否取得极值？如果取得极值，究竟是极大值还是极小值？下一个问题将给出判定极值的两个充分条件。3、第一充分条件与第二充分条件定理3（第一充分条件）设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导，若（1）在点的左邻域内，，在点的右邻域内，，则在处取得极大值；（2）在点的左邻域内，，在点的右邻域内，，则在处取得极小值；（3）在点的邻域内，不变号，则在处没有极值。证明：（1）由题设条件，函数在点的左邻域内单调增加，在点的右邻域内单调减少，且在处连续，故由极值定义可知，在处取得极大值（见图）。同理可证（2）（见图）、（3）（见图、）图根据上面的内容，若函数在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可按下列步骤来求在该区间内的极值点和极值：（1）确定函数的定义域，并求其导数；（2）求出的全部驻点与不可导点;（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值。注：（3）、（4）两步通常列表考察。例5求例3中函数的极值。解：由例3可知，不可导点为该函数的极大值点，极大值为；驻点是函数的极小值点，极小值为。注：将例3表格加以补充，即可得到本题表格：＋不存在－＋↗极大值↘极小值↗定理4（第二充分条件）设函数在处具有二阶导数且，，则（1）当，函数在处取得极大值；（2）当，函数在处取得极小值。注：定理4表明，若函数在驻点处的二阶导数，那么该驻点一定是极值点。但若，则定理4就不能用了。事实上，当，时，在处可能取得极大值，也可能取得极小值，也可能没有极值。比如，，，这三个函数在处就分别属于这三种情况。因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，则还得用第一充分条件来判定。例6求函数的极值。解：该函数的定义域为，求其导数为令，求得驻点，，，又因，故在处取得极小值，极小值为；因，故用