近世代数习题解答2

PAGEPAGE14近世代数习题解答第二章群论1群论全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子.证对于普通乘法来说是一个群.3.证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件来作群的定义:.至少存在一个右单位元,能让对于的任何元都成立.对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由得因为由有元能使所以即(2)一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即由得即这样就得到群的第二定义.(3)证可解取这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到是不困难的.2单位元,逆元,消去律若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群.证由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证(1)先证的阶是则的阶也是.若有使即因而这与的阶是矛盾.的阶等于的阶(2)的阶大于,则若这与的阶大于矛盾(3)则总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶的元的个数仍是偶数,但阶是的元只有单位元,所以阶的元的个数一定是奇数.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证故由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:故是整数,因而的阶不超过它.4群的同态假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?证不一定相同例如对普通乘法都作成群,且(这里是的任意元,是的元)由可知∽但的阶都是.而的阶是.5变换群假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?证我们的回答是回有的:1→11→12→12→33→23→44→34→5……显然是一个非一一变换但假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?证(1)是有理数是关闭的.显然时候结合律则而所以构成变换群.又:故因而不是交换群.3.假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:来说明一个变换.证明,我们可以用:来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元.证那么证因为所以而3.假设生成一个阶是的循环群。证明也生成，假如(这就是说和互素)证生成一个阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，或者，由于有即故4假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群。证有2。4。定理1知也是群，设且(是同态满射)则存在使因而∽故即因而即Ã=（ã）5．假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态。证ⅰ）设是无限阶的循环群，令且所以∽ⅱ）设而的阶是。令：当且只当,易知是到的一个满射设则那么∽8子群1．找出S3的所有子群证S3={}的子群一定包含单位元。ⅰ）S3本身及只有单位元都是子群ⅱ）包含和一个2一循环的集合一定是子群因={}，={}，={}亦为三个子群ⅲ）包含及两个3—循环置换的集合是一个子群，={}是子群，有以上6个子群，今证只有这6个子群，ⅳ）包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群因ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群因ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若出现则故有且只有6个子群。2.证明；群的两个子群的交集也是的子群。证是的两个子群，显然非空则同时因是子群，故，同时所以故是的子群3．取的子集，生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证从而群的两个不同的子集会生成相同的子群生成的子群为{}生成的子群为{}4．证明，循环群的子群也是循环群。证=（）是循环群，是的子群设，而时。任意则因而因，所以是循环群.5.找出模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.={}(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)即(ⅳ)即(ⅴ)即(ⅵ)([6])即有且只有以上6个子群.6.假定是群的一个非空子集,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子群的充要条件:推出证必要性显然充分性推出,(*)所以只证推出即可.,的阶有限设为即所以由(*)可知,因而这样作成的子群.9子群的陪群1.证明阶是素数的群一定是循环群证：设群的阶是素数,则可找到而,则的阶,根据定理3知,但是素数,故,那么是的个不同元,所以恰是的不同元,故.2.证明阶是的群(是素数)一定包含一个阶是的子群.证：设阶是的群为,是正整数,可取,而,根据定理3,的阶是而,进一步可得的阶为.是阶为的的子群.3.假定和是一个群的两个元,并且,又假定的阶是，的阶是并且.证明:的阶是证.设则故故又因此的阶是.假定~是一个群的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为证由于~是等价关系,故有即,则因而由题设可得由对称律及推移律得再由题设得即这就证明了是的一个子群.我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成的每一个元属于而且只属于一个右陪集.证任取则这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集若则则,因而故Ha=Hb这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.6.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是的群,它们都是交换群.证设是阶为的群.那么的元的阶只能是1．若有一个元的阶为,则为循环群;2.若有一个元的阶为,则除单位元外,其他二元的阶亦均未.就同构的观点看阶为的群,只有两个;由下表看出这样的群的确存在.循环群012300123112302230133012非循环群eabceeabcaaecbbbceaccbae循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10不变子群、商群1.假定群的不变子群的阶是,证明,的中心包含.证设是不变子群,对于任意有若则，矛盾则即是中心元.又是中心元显然.故的中心包含.2.证明,两个不变子群的交集还是不变子群令证,则是的子群.及，故是不变子群.3.证明:指数是的子群一定是不变子群.证设群的指数是则的右陪集为的左陪集为由易知因此不论是否属于均有4.假定是的子群,是的不变子群,证明是的子群。证任取至于HN非空是显然的!HN是G的子群.5.列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!)证取易知N是G的子群,是N的子群我们说N是G的不变子群,这是因为此即说明因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群是不变子群.但却不是G的不变子群,原因是:6.一个群G的可以写成!形式的元叫做换位子.证明:i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群;ii)G/C是交换群;iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么证i)显然是有限个换位子的乘积;故(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)=有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.由于1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个换位子的乘积)即有故C是子群;由有即所以C是不变子群.(ii)、就有故1因而即所以是交换子群;(iii)因G/N是交换子群就有因此又由于是子群,所以包含有限个换位子的乘积,即.11同态与不变子群1．我们看一个集合到集合的满射,证明,若是的逆象,一定是的象;但若的的象,不一定是的逆象.证ⅰ)在之下的象一定是;若有的元在之下的象,则有两个不同的象,故矛盾又的逆象是两者合起来,即得所证ⅱ)设令在之下但的逆象是2.假定群与群同态,是的一个不变子群,是的逆象.证明:证设是到的同态满射;是到的同态满射.规定则是到的同态满射.事实上,则故这就是说,现在证明同态满射的核是则由于是的逆象故因而另一方面,若则(是的逆象)根据1定理2.3．假定和是两个有限循环群,它们的阶各是和证明与同态,