高二数学第一章导数测试题(含答案)

高二数学第二章导数测试题一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.f(x)在x＝x0处可导，则lim△x→0A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关2.下列等式成立的是()A．abxdxB．abxC．-11|x|D．ab(x＋1)3.设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数aA．1<a≤2B．a≥4C．a≤2D．0<a≤34.已知函数f(x)＝cosx＋sinα，则f′(π2A．0B．1C．－1D．25.定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(2－x)＝f(x)，(x－1)f′(x)<0，若f(3a＋1)<f(3)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－23B．(23C．(－23，2D．(－∞，－23)∪(26.若函数f(x)的导函数f′(x)＝x(2－x)e-xA．f(2)>0B．f(0)>f(1)C．f(2)<f(1)D．f(2)>f(3)7.函数在某一点的导数是()A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率8.已知f(x)＝x＋sinx，若x∈[1,2]时，f(x2－ax)＋f(1－x)≤0，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．[32D．(－∞，329.定积分13A．－6B．6C．－3D．310.函数f(x)＝2-x,x≤0,4-x2A．π＋6B．π－2C．2πD．811.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·f′(x)>0的解集为()A．(0,2)B．(－∞，0)∪(2,3)C．(－∞，0)∪(3，＋∞)D．(0,2)∪(3，＋∞)12.已知函数f(x)＝x3－3x－1，g(x)＝2x－a，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[0,2]使|f(x1)－g(x2)|≤2，则实数a的取值范围()A．[1,5]B．[2,5]C．[－2,2]D．[5,9]分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．14.函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有xf'x-f(x)x16.已知Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，A是由直线y＝0，x＝a(0<a≤1)和曲线y＝x3围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投掷一点，点落在区域A内的概率为164，则a三、解答题(共6小题,共70分)17.求下列定积分：(1)12(x(3)12(x-x18.设x＝3是函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e3-x(x∈R(1)求a与b的关系式(用a表示b)；(2)求f(x)的单调区间．19.已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求导数f′(x)；(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值；(3)若f(x)在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是单调递增的，求实数k的取值范围．20.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值．21.已知函数f(x)＝mlnx－x2＋2(m∈R)．(1)当m＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝1时取得极大值，求证：f(x)－f′(x)≤4x－3；(3)若m≤8，当x≥1时，恒有f(x)－f′(x)≤4x－3恒成立，求m的取值范围．22.已知函数f(x)＝lnx＋a(x2－3x)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．

答案解析1.【答案】B【解析】式子lim△x→0fx0+△x-f(x0)△x表示的意义是求f′(x0)，即求f(2.【答案】C【解析】由y＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，得-11|x|d3.【答案】A【解析】∵f(x)＝12x2－9lnx∴函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－9x∵x>0，∴由f′(x)＝x－9x≤0，得0<x∵函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a∴a-1>0,a+1≤3,解得1<a4.【答案】C【解析】∵f(x)＝cosx＋sinα，∴f′(x)＝－sinx，∴f′(π2)＝－sinπ5.【答案】D【解析】当x>1时，f′(x)<0，此时函数单调递减，当x<1时，f′(x)>0，此时函数单调递增，∵f(2－x)＝f(x)，∴函数关于x＝1对称，若f(3a＋1)<f(3)，则满足①3a+1>1,3a+1>3,即a>0,a>23,②3a+1<1,3a+1<-1,即a<0,a<-23,综上，实数a的取值范围是(－∞，－23)∪(26.【答案】D【解析】当f′(x)＝x(2－x)e-x>0，解得0<x<2，故f(x当f′(x)＝x(2－x)e-x<0，解得x<0或x>2，故f(x∴f(2)>f(3)．7.【答案】C【解析】由定义，f′(x)是当Δx无限趋近于0时，△y△x8.【答案】C【解析】因为f(x)＝sinx＋x，x∈R，而f(－x)＝sin(－x)＋(－x)＝－sinx－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；又f′(x)＝cosx＋1≥0，所以f(x)是增函数．若x∈[1,2]时，f(x2－ax)＋f(1－x)≤0，即f(x2－ax)≤－f(1－x)＝f(x－1)，所以x2－ax≤x－1在x∈[1,2]上恒成立，即有1－a－1＋1≤0且4－2a－2＋1≤0，即有a≥1且a≥32则a≥329.【答案】A【解析】由积分的几何意义可知13(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及10.【答案】A【解析】∵f(x)＝2-x,x≤0,则-22f(x)dx＝-20(2-x)dx＋024-x2d设y＝4-x2(y≥0,0<则x2＋y2＝4(y≥0,0<x≤2)对应的曲线为半径为2的圆位于第一象限内的部分，对应的面积S＝14π×22根据积分的几何意义可得02故-22f(x)d11.【答案】D【解析】由f(x)图象单调性可得，当x<0时，f′(x)<0，f(x)>0，f(x)·f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，f(x)>0，f(x)·f′(x)>0，当2<x<3时，f′(x)<0，f(x)>0，f(x)·f′(x)<0，当x>3时，f′(x)<0，f(x)<0，f(x)·f′(x)>0，∴f(x)f′(x)>0的解集为(0,2)∪(3，＋∞)．12.【答案】B【解析】根据题意，要使得|f(x1)－g(x2)|≤2，即－2≤f(x1)－g(x2)≤2，只需满足f(x)max－g(x)max≤2，且f(x)min－g(x)min≥－2，∵函数f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，当f′(x)≥0时，即1≤x≤2，函数f(x)单调递增，当f′(x)<0时，即0≤x<1，函数f(x)单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝1－3－1＝－3，f(0)＝－1，f(2)＝8－6－1＝1，∴f(x)max＝1，∵g(x)＝2x－a在[0,2]上单调递增，∴g(x)min＝g(0)＝1－a，g(x)max＝g(2)＝4－a，∴1-(4-a)≤2,解得2≤a≤5.13.【答案】－2【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝33，x2＝－3当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：所以当x＝33时，g(x)有最小值g(33)＝－14.【答案】不存在－283【解析】f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝32；当x>32时，函数为增函数，当－2≤x≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f(32)＝－2815.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】[f(x)x]′＝x即x>0时，f(x)x当x>1时f(x)x>f(1)＝0，f(x0<x<1时，f(x)x<f(1)＝0，f(x又f(x)是奇函数，所以－1<x<0时，f(x)＝－f(－x)>0；x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．16.【答案】1【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1＝1，区域A即曲边三角形的面积为0ax3dx＝14x4|若向区域Ω上随机投掷一点P，点P落在区域A内的概率是164则有14a4解得a＝1217.【答案】(1)12(x2+2x+1)d＝x33|21＋x2|21＋x|(2)0π(sinx－＝(－cosx)|π0－sinx|π(3)12(x-x2+1＝x22|21－x33|21＋lnx|21(4)-π0(cosx+e＝sinx|0-π＋ex|0-【解析】18.【答案】(1)∵f(x)＝(x2＋ax＋b)e3-x∴f′(x)＝(2x＋a)e3-x＋(x2＋ax＋b)e3-x(－1)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]由题意得f′(3)＝0，即32＋3(a－2)＋b－a＝0，b＝－2a－3，∴f(x)＝(x2＋ax－2a－3)e3-x且f′(x)＝－(x－3)·(x＋a＋1)e令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－a－1，∵x＝3是函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e3-x(x∈R∴x1≠x2，即a≠－4.故a与b的关系式为b＝－2a－3(a≠－4)．(2)①当a<－4时，x2＝－a－1>3，由f′(x)>0，得单调递增区间为(3，－a－1)；由f′(x)<0，得单调递减区间为(－∞，3)，(－a－1，＋∞)；②当a>－4时，x2＝－a－1<3，由f′(x)>0，得单调递增区间为(－a－1,3)；由f′(x)<0，得单调递减区间为(－∞，－a－1)，(3，＋∞)．【解析】19.【答案】(1)∵f(x)＝(x2－4)(x＋k)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.(2)∵x＝－1是函数f(x)的极值点，∴由f′(－1)＝0，得3－2k－4＝0，解得k＝－12∴f(x)＝x3－12x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝43又f(－2)＝0，f(－1)＝92，f(43)＝－5027∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－50(3)∵f′(x)＝3x2＋2kx－4的图象是开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由已知，得f∴－2≤k≤2，即k的取值范围为[－2,2]．【解析】20.【答案】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，得a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，得b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2.【解析】21.【答案】(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x＝-2解f′(x)＝0，得x＝22(负值舍去)．当0<x<22时，f′(x)>0，f(当x>22时，f′(x)<0，f(x综上，当m＝1时，f(x)在(0，22)上单调递增，在(2(2)证明若f(x)在x＝1时取得极大值，即m2＝1，则m此时f(x)＝2lnx－x2＋2，f′(x)＝2x－2x令g(x)＝f(x)－f′(x)－4x＋3，则g(x)＝2lnx－x2＋2－2x＋2x－4x＋3＝2lnx－x2－2x－2g′(x)＝2x－2x＋2x2－2＝-2x3令g′(x)＝0，得x＝±1，则x，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：则gmax(x)＝g(1)＝0，所以g(x)≤0，即f(x)－f′(x)≤4x－3.(3)解令g(x)＝mlnx－x2＋2－mx＋2x－4x＋3＝mlnx－x2－2x－m则g′(x)＝mx－2x＋mx2－2＝-2当m≤2时，g′(x)<0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以当x≥1时，g(x)≤g(1)，故只需g(1)≤0，即－1－2－m＋5≤0，即m≥2，所以m＝2.②当2<m≤8时，解g′(x)＝0，得x＝±m2当1＜x＜m2时，g′(x)>0，g(x当x＞m2时，g′(x)<0，g(x所以当x＝m2时，g(x故只需g(m2)≤0，即mlnm2－m2－2m2－mm2＋5≤0，即m2令h(x)＝xlnx－x－4x＋5，则h′(x)＝1＋lnx－1－2x＝lnx－2h″(x)＝1x＋1所以h′(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h′(1)＝－2<0，h′(4)＝ln4－1>0，所以∃x0∈(1,4)，h′(x0)＝0，所以h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0,4)上递增，而