高中数学：函数的最大值练习及答案

7/7高中数学：函数的最大值练习及答案1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为（）A.2B.C.－2或2D.－22.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.3.函数y＝x＋的最值的情况为（）A.最小值为，无最大值B.最大值为，无最小值C.最小值为，最大值为2D.无最大值，也无最小值4.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A.B.C.D.5.定义域为R的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，则当x∈（－1,0]时，f（x）的最小值为（）A.－B.－C.0D.6.若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取得最小值，则a等于（）A.1＋B.1＋C.3D.47.若函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（）A.f，fB.f（0），fC.f（0），fD.f（0），f（2）8.若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数m的取值范围是（）A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]9.函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A.－2，f（2）B.2，f（2）C.－2，f（5）D.2，f（5）10.下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）A.y＝＋2B.y＝3x－2C.y＝x2D.y＝1－x11.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；（2）当a＝时，求f（x）的最小值；（3）若a为正常数，求f（x）的最小值.12.已知函数f（x）＝.（1）判断函数在区间[1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.13.（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；（3）已知函数f（x）＝x－2－3，求函数f（x）的最值.14.（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流喷出的高度h的最大值是多少？15.函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.16.函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）.（1）试写出g（t）的函数表达式；（2）求g（t）的最小值.17.已知函数f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在区间[0,2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）（a∈R）.（1）求g（a）和h（a）；（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？18.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.（1）设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.19.已知函数f（x）＝（x>0）.（1）求证：f（x）在（0,1]上为增函数；（2）求函数f（x）的最大值和最小值.20.已知函数f（x）＝＋.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）＝m＋f（x），求函数F（x）的最大值的表达式g（m）.21.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）＝－.（1）求证：f（x）在R上是减函数；（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值与最小值.答案1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为（）A.2B.C.－2或2D.－2【答案】C【解析】当k＞0时，ymax＝2k＋b，ymin＝k＋b，∴2k＋b－（k＋b）＝2，∴k＝2；当k＜0时，ymax＝k＋b，ymin＝2k＋b，∴k＋b－（2k＋b）＝2，∴k＝－2.综上k＝±2，故选C.2.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵f（x）＝x2－3x－4＝2－，∴f＝－，又f（0）＝－4，故由二次函数图象可知（如图）：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是.故选A.3.函数y＝x＋的最值的情况为（）A.最小值为，无最大值B.最大值为，无最小值C.最小值为，最大值为2D.无最大值，也无最小值【答案】A【解析】∵y＝x＋在定义域[，＋∞）上是增函数，∴函数的最小值为，无最大值，故选A.4.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋2·＝4＋2，当x＝－1时，y取得最大值M＝2；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴＝.5.定义域为R的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，则当x∈（－1,0]时，f（x）的最小值为（）A.－B.－C.0D.【答案】A【解析】若x∈（－1,0]，则x＋1∈（0,1].因为当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，所以f（x＋1）＝（x＋1）2－（x＋1）＝x2＋x.又f（x＋1）＝2f（x），则f（x）＝x2＋x＝2－，所以当x＝－时，f（x）取得最小值－.故选A.6.若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取得最小值，则a等于（）A.1＋B.1＋C.3D.4【答案】C【解析】设2＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x2－x1）.∵x2－x1＞0，当－1＞0时，即当2＜x＜3时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）＝x＋为减函数；当x>3时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）＝x＋为增函数，∴函数f（x）＝x＋在x＝3处取得最小值，∴a＝3.7.若函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（）A.f，fB.f（0），fC.f（0），fD.f（0），f（2）【答案】C【解析】函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f（0），同理，最小值对应f.8.若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数m的取值范围是（）A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]【答案】D【解析】当x≤0时，f（x）＝（x－m）2，f（x）min＝f（0）＝m2，所以对称轴x＝m≥0.当x>0时，f（x）＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以f（x）min＝2＋m.因为f（x）的最小值为m2，所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.9.函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A.－2，f（2）B.2，f（2）C.－2，f（5）D.2，f（5）【答案】C【解析】由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5），故选C.10.下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）A.y＝＋2B.y＝3x－2C.y＝x2D.y＝1－x【答案】A【解析】B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.11.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；（2）当a＝时，求f（x）的最小值；（3）若a为正常数，求f（x）的最小值.【答案】（1）当a＝4时，f（x）＝x＋＋2，易知，f（x）在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞）上是增函数，∴f（x）min＝f（2）＝6.（2）当a＝时，f（x）＝x＋＋2.易知，f（x）在[1，＋∞）上为增函数.∴f（x）min＝f（1）＝.（3）函数f（x）＝x＋＋2在（0，]上是减函数，在[，＋∞）上是增函数.当>1，即a>1时，f（x）在区间[1，＋∞）上先减后增，∴f（x）min＝f（）＝2＋2.当≤1，即0<a≤1时，f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，∴f（x）min＝f（1）＝a＋3.12.已知函数f（x）＝.（1）判断函数在区间[1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.【答案】（1）函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝－＝.∵x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数.（2）由（1）知函数f（x）在[1,4]上是增函数，故最大值f（4）＝，最小值f（1）=.13.（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；（3）已知函数f（x）＝x－2－3，求函数f（x）的最值.【答案】（1）∵函数f（x）＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f（x）在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f（0）＝f（2）.∴f（x）max＝f（0）＝f（2）＝－3，f（x）min＝f（1）＝－4.（2）∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（t＋2）＝（t＋2）2－2（t＋2）－3＝t2＋2t－3.②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（1）＝－4.③当t≤1<，即0<t≤1时，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，f（x）min＝f（1）＝－4.④当1<t，即t>1时，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.设函数f（x）的最大值为g（t），最小值为φ（t），则有g（t）＝φ（t）＝（3）设＝t（t≥0），则x－2－3＝t2－2t－3.由（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增.∴当t＝1即x＝1时，f（x）min＝－4，无最大值.14.（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流喷出的高度h的最大值是多少？【答案】（1）设x2＝t（t≥0），则x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增.∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值.（2）∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f（x）在[2,4]上是增函数，∴f（x）min＝f（2）＝6－4a.当a>4时，f（x）在[2,4]上是减函数，∴f（x）min＝f（4）＝18－8a.当2≤a≤4时，f（x）min＝f（a）＝2－a2.∴f（x）min＝（3）由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.于是水流喷出的最高高度是m.15.函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.【答案】f（x）＝4（x－）2－2a＋2，①当≤0，即a≤0时，函数f（x）在[0,2]上是增函数.∴f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.②当0<<2，即0<a<4时，f（x）min＝f（）＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a=（0,4），舍去.③当≥2，即a≥4时，函数f（x）在[0,2]上是减函数，f（x）min＝f（2）＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.综上所述，a＝1－或a＝5+.16.函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）.（1）试写出g（t）的函数表达式；（2）求g（t）的最小值.【答案】（1）f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8.当t>2时，f（x）在[t，t＋1]上是增函数，∴g（t）＝f（t）＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g（t）＝f（2）＝－8；当t＋1<2，即t<1时，f（x）在[t，t＋1]上是减函数，∴g（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7.从而g（t）＝（2）g（t）的图象如图所示，由图象易知g（t）的最小值为－8.17.已知函数f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在区间[0,2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）（a∈R）.（1）求g（a）和h（a）；（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？【答案】（1）∵f（x）＝（x－a）2－（a2＋1），又x∈[0,2]，∴当a≤0时，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（0）＝－1；当0<a≤1时，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（a）＝－（a2＋1）；当1<a<2时，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（a）＝－（a2＋1）；当a≥2时，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（2）＝3－4a.综上可知g（a）＝h（a）＝（2）g（a）和h（a）的图象分别为：由图象可知，函数y＝g（a）的最小值为－1，函数y＝h（a）的最大值为－1.18.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.（1）设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.【答案】（1）设AM＝y，AD＝x，则x2＋4xy＝200，∴y＝.故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋（0<x<10）.（2）令t＝x2，则Q＝38000＋4000（t＋），且0<t<200.∵函数u＝t＋在（0,10]上单调递减，在[10,200）上单调递增，∴当t＝10时，umin＝20.故当x＝时，Qmin＝118000（元）.19.已知函数f（x）＝（x>0）.（1）求证：f（x）在（0,1]上为增函数；（2）求函数f（x）的最大值和最小值.【答案】（1）证明设x1，x2是区间（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝＝.当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2），∴f（x）在（0,1]上单调递增.（2）解当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2），∴f（x）在[1，＋∞）上单调递减.∴结合（1）（2）可知，f（x）max＝f（1）＝，无最小值.20.已知函数f（x）＝＋.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）＝m＋f（x），求函数F（x）的最大值的表达式g（m）.【答案】（1）要使函数f（x）有意义，需满足得－1≤x≤1.故函数f（x）的定义域是{x|－1≤x≤1}.∵[f（x）]2＝2＋2，且0≤≤1，∴2≤[f（x）]2≤4，又∵f（x）≥0，∴≤f（x）≤2，即函数f（x）的值域为[，2].（2）令f（x）＝t，则t2＝2＋2，则＝