高中数学选修2-1教案5：3.1.5空间向量运算的坐标表示教学设计

人教版高中数学选修2-1教学设计PAGEPAGE13.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．2．过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．空间向量线性运算的坐标表示问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?【答案】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.空间向量线性运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?【答案】a·b＝a1b1＋a2b2.2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？【答案】求向量的模、夹角等．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝_a1b1＋a2b2＋a3b3；(2)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；(3)a≠0，b≠0，cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))；(4)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12).例题解析例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则例2如图，正方形ABCD-A1B1C1D1中，EF分别是BB1，D1B1的中点，求证EF⊥DA1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则，所以.又，，所以所以，因此，即.课堂检测一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)【解析】b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．【答案】A2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为()A.eq\f(\r(53),4)B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2)D.eq\f(\r(13),2)【解析】AB的中点M(2，eq\f(3,2)，3)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝(2，eq\f(1,2)，3)，故|CM|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\f(1,2)2＋32)＝eq\f(\r(53),2).【答案】C3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2 B．2C．3 D．－3【解析】∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.【答案】A4．点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．2 D．不存在【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－n,1－2n，－n)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝6(n－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，当n＝eq\f(1,2)时，|eq\o(AB,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(\r(2),2).【答案】B5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．【答案】A二、填空题6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴coseq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝60°.【答案】60°7．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(b,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.【解析】∵a∥b，a＝tb.于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6t，,0＝t2μ－1，,2λ＝2t.))解之可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t＝\f(1,5)，,μ＝\f(1,2).))故λ＋μ＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).【答案】eq\f(7,10)8．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,6，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则a＝________.【解析】设a＝(x，y，z)，由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up6(→))＝0,a·\o(AC,\s\up6(→))＝0,|a|＝1))，代入坐标可解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,13),y＝\f(4,13),z＝\f(12,13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,13),y＝－\f(4,13),z＝－\f(12,13).))【答案】(eq\f(3,13)，eq\f(4,13)，eq\f(12,13))或(－eq\f(3,13)，－eq\f(4,13)，－eq\f(12,13))三、解答题9．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，求cos〈b，c〉．解(3a－2b)·c＝3a·c－2b·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，又a·c＝2，∴b·c＝－3，由c＝(－2,1,2)知|c|＝3.∴cos〈b，c〉＝eq\f(b·c,|b||c|)＝eq\f(－3,4×3)＝－eq\f(1,4).10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)解(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此存在点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，E点坐标为(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5))．图3－1－3211．已知正方体ABCD－A1B1C1D1用向量法解：(1)求A1B和B1C的夹角；(2)证明：A1B⊥AC1；(3)求AC1的长度．解(1)以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设棱长为1，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(0,1，－1)·(－1,0，－1)＝0＋0＋1＝1.|eq\o(A1B,\s\up6(→))|＝eq\r(0＋1＋1)＝eq\r(2)，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋0＋1)＝eq\r(2).∴cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))|·|\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，∴A1B与B1C夹角为60°.(2)由(1)知eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0＋1－1＝0，∴A1B