高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案

#/14所以f(x)=—f(—x)=—(./+2x+3)=-a；—2-v—3.{x2-2x+3,k>0,0/=0,-x2-2x-3fx<0.(2)先画出函数在y轴右恻的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.由图象可知函数£(*)的单调递增区间是(-8,-1],[1,+8),单调递减区间是(一i,。)，(0,1)..设£(*)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+§(x)=./+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.【答案】•"(*)是偶函数，g(x)是奇函数，:(--Y)—f(-Y),g(—X)—~g(才)，由f(x)+g(x)=2x+x：①用一X代替才得£(一才)+§(—x)=-2*+(—X)/(X)—g(-¥)=-2x+H,②(①+②)+2,得f(X)=/：(①—②)4-2,得g(x)=2x..已知函数f(x)=一丁+3乂求证：(1)函数f(X)是奇函数：(2)函数f(x)在区间(一1,1)上是增函数.【答案】(1)显然f(x)的定义域是R.设任意x£R，因为f(-X)=一(—X)'+3(--¥)=-(―f+3x)=—/(-¥),所以函数f(x)是奇函数.(2)在区间(—1,1)上任取乂，xz,且MV*：,则f(生)~f(%)=一(XLxC(算孑+照品+%；)+3(-¥：--Y1)=(次一岗)(3-后一.因为一1<乂<短<1,所以生一M>0,(3—%2~-v：-Vi-%j)>0»所以f(照)>/(-Y1).所以函数f(x)=-f+3x在区间(一1,1)上是增函数..已知函数f(x)〜*+：+c(&,b,。是常数)是奇函数，且满足f⑴=vf⑵=学(1)求a,b,c的值：(2)试判断函数f(x)在区间；0,3上的单调性并证明.【答案】(1)•••£(x)为奇函数，AZ(--Y)=-f(x),综上，a=2,b=j,c=0.(2)由(1)可知f(x)=2x+=.函数/■(x)在区间［o,3上为减函数.证明如下：任取0〈,水但，则f(义)-f(-¥：)=2%+专一2照一今=(*一及)〔2-康)VO<A\<-¥：<5t

，R一%〈0,2典.匕>0, 1<0.:.f(-¥1)—f(x：)>0，f(Xi)>£(-r：)..・.f(x)在［0,J上为减函数.2L设定义域为R的函数f（X）(1%+11zx<0/(x2L设定义域为R的函数f（X）（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（X）的单调区间（不需证明）：（2）若方程f（x）+2a=0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当*>0时，g（x）=f（x）,求g（x）的解析式.【答案】（1）如图.v=-2a【答案】（1）如图.v=-2a单调增区间：[1,+8）,单调减区间（-8,-1],[0,1].（2）在同一坐标系中同时作出片=f（x）,片=一2”的图象，由图可知f（x）+2a=0有两个解,须一2a=0或一2a>l,即a=0或水一,（3）当水0时，一火〉0,所以g（一才）=（一*）2-（~2-y）+l=^+2x+l,因为g（x）为奇函数，所以g（x）=—£（一外=一三一2*一1,%2-2%+1(%>0),且g(0)=0,所以g(x)= 0(x=0),s-x2-2r-l(r<0).

22.已知函数f(x)=ax+J(xWO,常数a£R).(1)讨论函数£(x)的奇偶性，并说明理由;(2)若函数f(胃)在x£［3,+8)上为增函数，求a的取值范围.【答案】(1)定义域(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.当a=0时，f(x)=2,满足对定义域上任意x,£(—*)=f(x)，，当a=0时，£(*)是偶函数:当a#0时，/(1)=a+l,/(-1)=1-a.若f(*)为偶函数，则a+l=l—a,a=0矛盾:若/'(王)为奇函数，则1—a=—(a+1),1=-1矛盾,•••当aWO时，f(x)是非奇非偶函数.(2)任取氏〉*：，？，f(司)—/(x:)=a.Y：ax2—^=a<.y：-xz)+覆/=(岗一在)(a―