高中数学数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题附解析

高中数学数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题附解析一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，写出数列的前6项为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，，，……，，可得：，故C正确.对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.2．已知数列满足，，，其前项和为，则下列选项中正确的是（）A．数列是公差为的等差数列B．满足的的最大值是9C．除以的余数只能为0或1D．【答案】ABC【分析】根据题意对变形得，进而根据累加法求得，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为，故等式两边同除以得：，所以，，，故根据累加法得：，由于，故，检验满足，故所以数列是公差为的等差数列，故A选项正确；由等差数列前项和公式得：，故，解得：，故满足的的最大值是9，故B选项正确；对于C选项，当时，，此时除以的余数只能为1；当时，，此时除以的余数只能，故C选项正确；对于D选项，，，显然，故D选项错误.故选：ABC【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得，进而根据累加法求得通项公式.3．（多选）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】BC【分析】计算可得，故选项错误；，，所以数列是等比数列，故选项正确；，所以数列是公差为的等差数列，故选项错误.【详解】∵∴解得或∵为递增数列，∴∴，，故选项错误；∴，，∴，，∴数列是等比数列，故选项正确；又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.4．将个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中).已知，，记这个数的和为S.下列结论正确的有（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，进而可得，根据错位相减法可求得，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），A正确；∴，C错误；∴，①②,①-②化简计算可得：,B正确；S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)，D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.5．已知首项为1的数列的前项和为，当为偶数时，；当为奇数且时，.若，则的值可以是（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】BCD【分析】由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得，计算出与接近的和，，，从而可得结论．【详解】依题意，，，，所以，,∴.又，故数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，故奇，偶，故奇＋偶，故，，故使得的最小整数的值为18.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和接近4000时的项数，从而得出结论．6．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（）A． B．数列是递增数列C．时，的最小值为13 D．数列中最小项为第7项【答案】ACD【分析】由已知得，又，所以，可判断A；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B；由，可判断C；判断，的符号，的单调性可判断D；【详解】由已知得，，又，所以，故A正确；由，解得，又，当时，，时，，又，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递增，所以数列不是递增数列，故B不正确；由于，而，所以时，的最小值为13，故C选项正确；当时，，时，，当时，，时，，所以当时，，，，时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.7．已知等差数列的公差，前项和为，且，则（）A．B．C．数列中可以取出无穷多项构成等比数列D．设，数列的前项和为，则【答案】AC【分析】利用已知条件可得与已知条件两式相减，结合是等差数列，可求的值即可判断选项A，令即可求的值，可判断选项B，分别计算的通项即可判断选项C，分别讨论两种情况下，即可求可判断选项D.【详解】因为，所以，两式相减，得，因为，所以，，故选项A正确；当时，，易解得或，故选项B不正确；由选项A、B可知，当，时，，可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C正确；当时，，，因为，所以，当时，，，所以，此时，所以，故选项D不正确．故选：AC.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.8．下面是关于公差的等差数列的几个命题，其中正确的有（）A．数列递增B．为的前n项和,则数列是递增的等差数列C．若，为的前n项和，且为等差数列，则D．若，为的前n项和，则方程有唯一的根【答案】ABD【分析】选项A.由题意可判断；选项B.先求出，根据可判断；选项C.若,则，则或时为等差数列可判断；选项D.由可判断.【详解】选项A.由题意，则，所以数列递增，故A正确.选项B.,则所以，则，所以数列是递增的等差数列.故B正确.选项C.若,则，则当时，为等差数列.当时，为等差数列.所以选项C不正确.选项D.,即，则又由，所以，得，故选项D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前项和公式进行判断，求出，从而判断，属于中档题.二、平面向量多选题9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．故选:ABC.【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.10．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（）A．若，则；B．已知，，若，则；C．非零向量和，满足，则与的夹角为30º；D．【答案】BCD【分析】通过举反例知A不成立，由