高中数学必修三同步练习题库：几何概型(填空题：较难32-困难33)

共页，第页几何概型（填空题：较难32，困难33）1、如图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是

2、若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为

．3、已知圆，直线，圆上任意一点到直线的距离小于的概率为__________________4、在上随机取一个值，使得关于的方程有实根的概率为______.5、（苏州2010年B7）在△ABC中，，，，，自点在内任作一条射线AM交于BC于点M，则“BM＜1”的概率是__________.6、（2011年苏州B12）已知圆C的半径为r，点A是圆C上的一个定点．在圆C上任取一个点B，则“线段AB的长度大于r”的概率为__________．7、当时，则的概率为__________．8、关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．假如统计结果是，那么可以估计__________．（用分数表示）9、如图，点的坐标为，点

的坐标为，函数，若在矩形

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

.

10、设有关于的一元二次方程．

（Ⅰ）是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．11、如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是

．

如图，在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为

.13、关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计__________.（用分数表示）14、将a，b都是整数的点（a，b）称为整点，若在圆x2+y2﹣6x+5=0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于的概率为_________．15、已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是_________．16、若不等式组表示的区域为Ω，不等式（x﹣）2+y2≤的区域为Γ中任取一点P，则点P落在区域Ω中的概率为

．17、已知为所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在的概率为__________．18、一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为

.19、已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线围成的平面区域为，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围是

.20、张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6∶30—7∶30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7∶00—8∶00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．21、给出下列命题：

①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；

②在△ABC中，已知则;

③函数的图象关于点（－1,1）对称；

④若命题p是：:对任意的，都有sinx≤1,则为：存在,使得sinx>1.

其中所有真命题的序号是＿＿＿＿22、给出下列命题：

①“x＝一1”是“x2一5x一6＝0”的必要不充分条件；

②在△ABC中，已知则;

③在边长为1的正方形ABCD内随机取一点M，MA＜1的概率为于

④若命题p是：:对任意的，都有sinx≤1,则为：存在,使得sinx>1.

其中所有真命题的序号是＿＿＿＿23、已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．24、已知、都是定义在R上的函数，，，，，则关于x的方程（）有两个不同实根的概率为

.25、由数字1，2，3，4，5，6组成一个无重复数字的六位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于

．26、在区间任取一个实数，则该数是不等式解的概率为

27、

在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为

。

28、设一长方体相交与同一点三条棱的长均是区间的随机数，则其体对角线的长小于的概率为：

。29、从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为

▲

.30、已知,，若向区域内随机投一点P，则点P落在区域内的概率为

；31、在区间[－3，3]内任取两个数分别记为a，b，则使得关于x的方程有实根的概率为

.32、把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的

概率为

．33、关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计

．（用分数表示）参考答案1、2、．3、4、5、6、7、8、9、10、（1）；（2）．11、6π12、13、14、

15、16、17、18、.19、20、21、②④22、②③④23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、【解析】1、试题分析：记事件A为“所投的点落在阴影部分”，阴影部分面积

由几何概型的概率公式得

所以答案填：.

考点：1、定积分；2、几何概型.2、试题分析：不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面

积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．

【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：

用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．3、

由题意知，圆的标准方程为的圆心是，圆心到直线的距离是，当与平行，且在直线下方距离为的平行直线为，则，则，即（舍去）或，此时直线为，则此时圆心到直线的距离，即三角形为直角三角形，当位于弧时，此时到直线的距离小于，则根据几何概型的概率公式得到，

故答案为.

【方法点睛】本题題主要考查“角度型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与角度有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总角度以及事件的角度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.4、由题意得，要使得方程有实根，则，

即或，解得或，

所以方程有实根的概率为.

点睛：本题考查了几何概型中概率的求解与计算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中涉及到正弦函数的图象与性质，几何概型的概率计算公式，其中根据方程有实数根，得出角的取值范围是解答的关键.5、角度型几何概型，由题意可得，所以射线与BD相交即可，。填。

【点睛】

本题易错为，我们要区分是长度型几何概型还是角度型几何概型。6、几何概型，圆的周长，满足条件的点所以，。填。7、满足题意的点构成的样本空间为以为顶点的正方形内部（含边界），正方形面积为4，其中满足是正方形内夹在两条平行线和之间的梯形，面积为，所求概率为．8、由题意，200对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对满足且，区域面积

为，由已知，解得．

点睛：本题考查几何概型，关键是构造出样本空间．对于实数对，我们把它作为平面上点的坐标，则样本空间是平面上的以为顶点的正方形，其面积为1，而约束条件是，在平面上作出图形，求出其面积，利用几何概型概率公式可得概率，而估值法就是把题中的频率看作是这个概率，从而建立等量关系，得到估值．9、试题分析：由已知，矩形的面积为，

阴影部分的面积为，

由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于.

考点：定积分的简单应用，几何概型10、试题分析：首先解出方程有实根的条件，，即，（1）根据与的取值，列出所有的基本事件的个数，和满足的基本事件的个数，然后按照古典概型求概率；

（2）此问中与的取值是连续区间，所以属于几何概型，试验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为．

根据面积之比得到概率．

试题解析：设事件为“方程有实根”．

当，时，方程有实根的充要条件为．

（Ⅰ）基本事件共12个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．

（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为．

构成事件的区域为．

所以所求的概率为．

考点：1．古典概型；2．几何概型．11、试题分析：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是2，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，

∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，

∴S阴影==2π，因落在阴影的概率为，所以三角形面积为6π。

考点：扇形面积的计算12、试题分析：由题意可得：两个阴影部分的面积相等，所以上方的阴影面积为

，所以取自阴影部分的概率为.

考点：定积分，几何概型及指、对数函数.13、试题分析：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足且面积为因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，所以

考点：概率统计14、试题分析：将圆的方程化成标准形式为，圆内的整点共有九个，从中任取一点M，有9种不同的结果，由于是任意选取的，所以每个结果出现的可能性是相等的；记“点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于”为事件A，则事件A共包含五个基本结果，由古典概型的概率计算公式得：.

所以答案应填：.

考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式；3、古典概型.15、试题分析：以为邻边作平行四边形，则因为，即，所以,由此可得是边上的中线的中点，点到的距离等于到距离的，所以，由几何概型可知将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是.

考点：平面向量的线性运算与几何概型.16、试题分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

A（﹣2，﹣1），B（2，﹣1），A（0，1），则△ABC的面积S=，

不等式（x﹣）2+y2≤的区域表示为圆心D（，0）半径r=，则对应的面积S==，

则点P落在区域Ω中的概率为=，

故答案为：

点评：本题主要考查几何概型的概率的计算．利用数形结合求出对应的面积是解决本题的关键．17、

以PB、PA为邻边作平行四边形PADB,则，

∵，

∴→,得，

∴,即，

由此可得，P是△ABC边AB上的中线CO的一个三等分点，

点P到AB的距离等于C到AB的距离的23.

∴.

将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为

故答案为：.

点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．18、试题分析：如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，

半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.

考点：几何概型19、试题分析：如图所示，设直线与曲线交于两点，的大小为，

∴的面积

扇形的面积

∴阴影部分面积

∴

显然，且关于递增，易得当时，

，此时；当时，，此时；∴

考点：1、平面区域；2、几何概型.20、以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，

因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝21、试题分析：因为将x=-1代入方程x2一5x一6＝0成立，所以充分性成立，所以①不正确.因为△ABC中.又因为.所以，所以②正确.因为所以③显然不正