高中数学一轮复习-第八章-立体几何

第八章立体几何考点1空间几何体的结构及其三视图与直观图1.(2016·全国Ⅲ，9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.18＋36eq\r(5)B.54＋18eq\r(5)C.90D.812.(2016·全国Ⅱ，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π3.(2016·北京，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.14.(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)πB.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)πD.1＋eq\f(\r(2),6)π5.(2015·广东，8)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于36.(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A.2＋eq\r(5)B.4＋eq\r(5)C.2＋2eq\r(5)D.57.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.eq\f(32,3)cm3D.eq\f(40,3)cm38.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A.1B.2C.4D.89.(2014·福建，2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱10.(2014·江西，5)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()11.(2014·湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②12.(2014·新课标全国Ⅰ，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6eq\r(2)B.4eq\r(2)C.6D.413.(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

考点2空间几何体的表面积和体积1.(2016·全国Ⅲ，10)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.eq\f(9π,2)C.6πD.eq\f(32π,3)2.(2016·全国Ⅰ，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是eq\f(28π,3)，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π3.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋44.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1＋eq\r(3)B.2＋eq\r(3)C.1＋2eq\r(2)D.2eq\r(2)5.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π6.(2015·山东，7)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D.2π7.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋πB.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2πD.eq\f(2,3)＋2π8.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,5)9.(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝eq\f(新工件的体积,原工件的体积))()A.eq\f(8,9π)B.eq\f(16,9π)C.eq\f(4(\r(2)－1)3,π)D.eq\f(12(\r(2)－1)3,π)10.(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.7211.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm212.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B.16πC.9πD.eq\f(27π,4)13.(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.21＋eq\r(3)B.18＋eq\r(3)C.21D.1814.(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B.4πC.2πD.eq\f(4π,3)15.(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.eq\f(22,7)B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50)D.eq\f(355,113)16.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)17.(2016·四川，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.18.(2016·浙江，14)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________.19.(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________.20.(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________.

考点3点、线、面的位置关系1.(2016·全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)2.(2015·安徽，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3.(2014·辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α4.(2015·浙江，13)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.

考点4线面平行的判定与性质1.(2016·山东,17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3),AB＝BC,求二面角F－BC－A的余弦值.2.(2016·全国Ⅲ,19)如图,四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.3.(2015·江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.4.(2014·江苏,16)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.5.(2014·新课标全国Ⅱ,18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角DAEC为60°,AP＝1,AD＝eq\r(3),求三棱锥EACD的体积.6.(2014·湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP＝BQ＝λ(0<λ<2).(1)当λ＝1时,证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.

考点5线面垂直的判定与性质1.(2016·浙江,2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n2.(2015·浙江,8)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD,所成二面角A′CDB的平面角为α,则()A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α3.(2014·广东,7)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定4.(2016·全国Ⅱ,14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.(2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.(3)如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).5.(2016·全国Ⅰ,18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.6.(2016·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.7.(2015·新课标全国Ⅱ,19)如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝16,BC＝10,AA1＝8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E＝D1F＝4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.8.(2015·新课标全国Ⅰ,18)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE＝2DF,AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC,(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.9.(2014·新课标全国Ⅰ,19)如图,三棱柱ABC­A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角AA1B1C1的余弦值.10.(2014·广东,18)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC＝30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值.11.(2014·辽宁,19)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角EBFC的正弦值.12.(2014·江西,19)如图,四棱锥P­ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD；(2)若∠BPC＝90°,PB＝eq\r(2),PC＝2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.13.(2014·湖南,19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD＝O,A1C1∩B1D1＝O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°,求二面角C1­OB1­D的余弦值.

考点6空间向量与立体几何1.(2014·广东,5)已知向量a＝(1,0,－1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(－1,1,0)B.(1,－1,0)C.(0,－1,1)D.(－1,0,1)2.(2014·四川,8)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，1))3.(2014·新课标全国Ⅱ,11)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA＝90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC＝CA＝CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10)D.eq\f(\r(2),2)4.(2014·江西,10)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝11,AD＝7,AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4),L1＝AE,将线段L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是()5.(2015·四川,14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.6.(2016·全国Ⅱ,19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB＝5,AC＝6,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF＝eq\f(5,4),EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.OD′＝eq\r(10).(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值.7.(2015·陕西,18)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD＝eq\f(π,2),AB＝BC＝1,AD＝2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.8.(2015·天津,17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB＝1,AC＝AA1＝2,AD＝CD＝eq\r(5),且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为eq\f(1,3),求线段A1E的长.9.(2015·安徽,19)如图所示,在多面体A1B1D1­DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C.(2)求二面角E­A1D­B1的余弦值.10.(2015·重庆,19)如图,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC＝3,∠ACB＝eq\f(π,2).D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD＝DE＝eq\r(2),CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值.11.(2015