高中数学-第八章-第七节-抛物线

课时作业A组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a) B．(a,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16a)))，所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2 B．eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D．eq\f(5,2)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).答案：C3．(2017·邯郸质检)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，x1＋x2＋x3＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，则|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝(x1＋eq\f(1,2))＋(x2＋eq\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.选C.答案：C4．已知直线l：y＝kx－k与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))，则实数k等于()A．±eq\f(\r(3),3) B．±1C．±eq\r(3) D．±2解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点，如图．过M作MM′⊥准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))，得cos∠M′MN＝eq\f(|MM′|,|MN|)＝eq\f(1,2)，则tan∠M′MN＝±eq\r(3)，∴直线l的斜率k＝±eq\r(3)，故选C.答案：C5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．2eq\r(5)－1 B．2eq\r(5)－2C.eq\r(17)－1 D．eq\r(17)－2解析：由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝eq\r(1＋16)－1＝eq\r(17)－1.选C.答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq\f(2\r(3),3)，设P(x0，y0)，则x0＝±eq\f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq\f(1,3)，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．(2017·云南检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________．解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴|4－eq\f(p,2)|＝2，解得p＝12或4.答案：12或48.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D(图略)，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝eq\f(3,2)，∴抛物线的方程是y2＝3x.答案：y2＝3x9．已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A、B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为eq\f(|－p－p|,\r(1＋－m2))＝p，解得m＝±eq\r(3)，所以直线l的斜率为±eq\f(\r(3),3).(2)由(1)知直线l的方程为x＝±eq\r(3)y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝eq\r(3)y＋p，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋p，,y2＝4px，))消去x得y2－4eq\r(3)py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4eq\r(3)p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(4\r(3)p2＋4×4p2)＝16p，因为△WAB的面积为8，所以eq\f(1,2)p×16p＝8，得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x.10．(2017·合肥质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，半径为eq\f(|OA|,2)＝eq\f(\r(5),2)，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).(2)记A(x1，eq\f(x\o\al(2,1),2p))，B(x2，eq\f(x\o\al(2,2),2p))．则eq\o(OB,\s\up7(→))＝(x2，eq\f(x\o\al(2,2),2p))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),2p))．由eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0知，x2(x2－x1)＋eq\f(x\o\al(2,2)x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4p2)＝0.∵x2≠0，且x1≠x2，∴xeq\o\al(2,2)＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4p2,x2))).∴xeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋eq\f(16p4,x\o\al(2,2))＋8p2≥2eq\r(16p4)＋8p2＝16p2，当且仅当xeq\o\al(2,2)＝eq\f(16p4,x\o\al(2,2))，即xeq\o\al(2,2)＝4p2时取等号．又|OA|2＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(x\o\al(4,1),4p2)＝eq\f(1,4p2)(xeq\o\al(4,1)＋4p2·xeq\o\al(2,1))，注意到xeq\o\al(2,1)≥16p2，∴|OA|2≥eq\f(1,4p2)(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·eq\f(|OA|2,4)，∴S≥20πp2，即S的最小值为20πp2，当且仅当xeq\o\al(2,2)＝4p2时取得．B组——能力提升练1．已知抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点为F，点A(0，－eq\r(3))．若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|∶|MD|＝1∶2，则点M的纵坐标为()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(2\r(3),3)解析：依题意，F点的坐标为(eq\f(m,4)，0)，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MD|＝1∶2，所以|KD|∶|KM|＝eq\r(3)∶1，kFD＝eq\r(3)，kFD＝eq\f(0＋\r(3),\f(m,4)－0)＝eq\f(4\r(3),m)，所以eq\f(4\r(3),m)＝eq\r(3)，解得m＝4，所以直线FM的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3(舍去)或x＝eq\f(1,3)，所以y2＝eq\f(4,3)，y＝－eq\f(2\r(3),3)或y＝eq\f(2\r(3),3)(舍去)，故点M的坐标为(eq\f(1,3)，－eq\f(2\r(3),3))，故选D.答案：D2．(2018·石家庄质检)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为()A．y2＝eq\f(8,5)x B．y2＝eq\f(16,5)xC．y2＝eq\f(32,5)x D．y2＝eq\f(64,5)x解析：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(k>0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\r(22－\f(4\r(5),5)2)＝eq\f(2\r(5),5)，解得k＝2(k＝－2舍去)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x,x2＋y－22＝4))，可取A(0,0)，B(eq\f(8,5)，eq\f(16,5))，把(eq\f(8,5)，eq\f(16,5))代入抛物线方程，得(eq\f(16,5))2＝2p·eq\f(8,5)，解得p＝eq\f(16,5)，所以抛物线C2的方程为y2＝eq\f(32,5)x，故选C.答案：C3．已知点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝1上，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(3\r(5),2)－1 B．eq\f(3\r(3),2)－1C．2eq\r(3)－1 D．eq\r(10)－1解析：设点P(y2，y)(y∈R)，圆(x＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝1的圆心为A(－eq\f(1,2)，4)，则|PA|2＝(y2＋eq\f(1,2))2＋(y－4)2＝y4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)，令t＝y4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)，则t′＝4y3＋4y－8，令m＝t′＝4y3＋4y－8，则m′＝12y2＋4>0，所以m＝t′＝4y3＋4y－8在R上是增函数，因为t′|y＝1＝0，所以y＝1为t＝y4＋2y2－8y＋eq\f(65,4)的极小值点也是最小值点，所以|PA|2＝t的最小值为eq\f(45,4)，所以|PA|的最小值为eq\f(3\r(5),2)，所以|PQ|的最小值为eq\f(3\r(5),2)－1，故选A.答案：A4．(2018·山西八校联考)已知抛物线y2＝4x的准线与x轴相交于点P，过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|＝2|FA|，则AB的长度为________．解析：依题意知P(－1,0)，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|＝2|FA|，得x2＋1＝2(x1＋1)，即x2＝2x1＋1①，∵P(－1,0)，则AB的方程为y＝kx＋k，与y2＝4x联立，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，即k2<1，x1x2＝1②，由①②得x1＝eq\f(1,2)，则A(eq\f(1,2)，eq\r(2))，∴k＝eq\f(\r(2)－0,\f(1,2)－－1)＝eq\f(2\r(2),3).∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，|AB|＝eq\r(1＋\f(8,9)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(\r(17),2).答案：eq\f(\r(17),2)5．(2018·昆明市检测)设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)与C交于点A，直线FA恰与曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)相切于点A，FA交C的准线于点B，则eq\f(|FA|,|BA|)等于________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\f(k,x)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,\r(3,2pk))，,y＝\r(3,2pk).))由y＝eq\f(k,x)，得y′＝－eq\f(k,x2)，所以kFA＝eq\f(\r(3,2pk),\f(k,\r(3,2pk))－\f(p,2))＝－eq\f(k,\f(k2,\r(3,4p2k2)))，化简得k＝eq\f(p2,4\r(2))，所以x＝eq\f(k,\r(3,2pk))＝eq\f(p,4)，eq\f(|FA|,|AB|)＝eq\f(|xF－xA|,|xA－xB|)＝eq\f(\f(p,2)－\f(p,4),\f(p,4)－－\f(p,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2017·唐山统考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解析：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝4.因为eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝eq\r(1＋m216m2－32)，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±eq\r(3).所以，直线l的方程为x＋eq\r(3)y＋2＝0或x－eq\r(3)y＋2＝0.7．如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若