高中数学-1.2.2-第2课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)同步测试-新人教A版选修2

PAGEPAGE6高中数学1.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)同步测试新人教A版选修22一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1[答案]C[解析]∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{eq\f(1,fn)}(n∈N*)的前n项和是()A．eq\f(n,n＋1) B．eq\f(n＋2,n＋1)C．eq\f(n,n－1) D．eq\f(n＋1,n)[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{eq\f(1,fn)}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))在第三象限，故选C.5．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．y′＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝sin2x＋cos2x D．y′＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).6．(2013·烟台质检)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a二、填空题7．(2013·天津红桥区高二段测)已知函数f(x)＝x·2x，当f′(x)＝0时，x＝________.[答案]－eq\f(1,ln2)[解析]f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由f′(x)＝0及2x>0知，1＋xln2＝0，∴x＝－eq\f(1,ln2).8．设函数f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案]eq\f(π,6)[解析]f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5π,6)))，∴φ＋eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq\f(π,6).9．(2014·江西临川十中期中)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[答案]eq\f(1,2)ln2[解析]∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝eq\f(1,x＋a)，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且eq\f(1,x0＋a)＝2，解之得a＝eq\f(1,2)ln2.三、解答题10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析]∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2∴4a＋2∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.一、选择题11．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－eq\f(1,x＋1).∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.12．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9 B．6C．－9 D．－6[答案]D[解析]y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a∴a＝－6.13．已知y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，当y′＝2时，x等于()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2,3)πC．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[答案]C[解析]y′＝(tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)＝2，∴cos2x＝eq\f(1,2)，∴cosx＝±eq\f(\r(2),2)，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x＝eq\f(π,4).14．(2014·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为eq\f(3,2)，则切点的横坐标为()A．eq\f(ln2,2) B．－eq\f(ln2,2)C．ln2 D．－ln2[答案]C[解析]f′(x)＝ex－ae－x，由f′(x)为奇函数，得f′(x)＝－f′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝eq\f(3,2)，解得x0＝ln2，故选C.二、填空题15．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]2eq\r(2)－1[解析]y′|x＝1＝－eq\f(1,2x－12)|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2eq\r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq\r(2)－1.16．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[答案]2[解析]设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝eq\f(1,x0＋a)＝1.∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(3)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx)；(4)y＝cosx·sin3x.[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).(3)y′＝eq\f(x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′,x＋sinx2)＝eq\f(1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosx,x＋sinx2)＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,x＋sinx2).(4)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sin