高三数学立体几何、平面与平面位置关系(文)人教版知识精讲

wordword/word高三数学立体几何、平面与平面位置关系（文）人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：立体几何、平面与平面位置关系二.知识结构：三.难点：1.两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理及其应用。2.求二面角的平面角。3.异面直线上两点间距离公式。二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的平面角是以棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角二面角是一个空间概念，而二面角的平面角是一个平面概念。二面角是通过它的平面角来度量的。二面角的平面角是多少度，就称二面角是多少度，二面角的取值X围是。书中给出了异面直线上两点间距离公式由此可知，因此，两条异面直线的距离，是分布在两条异面直线上的两点的距离中的最小的。【典型例题】[例1]如图1，ABCD两对角线AC与BD交于点O，过O的线段PQ恰被平面ABCD垂直平分，E、G分别是PB、QA的中点，求证：平面ADE//平面BGC。图1解：由PQ与AC垂直平分，则四边形PAQC为菱形，则又由E、G分别为PB、AQ中点，则故四边形AGCF为平行四边形，则在平行四边形ABCD中，故平面ADE//平面BGC小结：两个平面平行的判定定理是两个平面平行的基本方法，此外，还可以利用以下方法判定面面平行：（1）如果两个平面都与同一条直线垂直，则这两个平面平行；（2）如果两个平面都与同一个平面平行，则这两个平面平行。[例2]已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，，，。（1）证明：平面AB1C//平面A1C1D；（2）求平面AB1C与平面A1C图2解：（1）如图2所示∵∴四边形A1B1CD为∴B1C//A1D同理AB1//C1D∴平面AB1C//平面A1C（2）设平面AB1C与平面A1C1D的距离为，由面面距离的定义知，点D到平面AB1C的距离即等于平面AB1C与平面A1C1D的距离，又由平面AB1C过线段DB的中点O，则点B和D到平面AB1作于E，连结B1E，由三垂线定理在中，在中，故由三棱锥B—AB1C与三棱锥B1—即平面AB1C与平面A1C1小结：（1）面面距离、线面距离都可以转化为点面距离，而点面距离除直接求垂线段长外，还可以利用间接法，如本例使用体积变换求得。（2）易证如果两条异面直线分别位于两个互相平行的平面内，则这两个平面的距离与异面直线的距离相等，利用这个事实，我们可以把求异面直线的距离转化为求两个平面的距离，如本例异面直线AB1与A1C1[例3]过点S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且，，求证：平面平面BSC。图3解：证法1：如图3由作平面BSC于D，由射影长定理，有即D为的外心，故D为斜边BC的中点，则平面ABC，所以平面平面BSC。证法2：设由取D为BC的中点，连结AD、SD，则，故为二面角A—BC—S的平面角在中，，由，则在中，由则，故平面平面BSC小结：证明两个平面垂直常使用判定定理或定义，如证法1和证法2。[例4]如图4，已知为等腰直角三角形，，，将沿BC折起，使二面角A—BC—D为直二面角。（1）求证：平面平面ADC；（2）求二面角A—BD—C的大小。图4解：（1）由又由（2）作于E，则E为等腰的中点，过E作于F，连结AF。由则为二面角A—BD—C的平面角设，则，，在中，，故二面角A—BD—C为小结：（1）在平面图形翻折成空间图形的问题中，要充分注意翻折前、后各元素的相对位置和数量关系的变化，分清哪些发生了变化，哪些没有变化。（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形求该角，这是求二面角平面角的常用方法。[例5]已知矩形ABCD中，，，以BD为棱折成大小为的二面角A—BD—C，使得，求二面角A—BD—C的大小。图5解：解法1：如图5，过A作，过C作于F，过E作，连结AG、CG，则为二面角A—BD—C的平面角。由题设，易求得，，由，即为直角三角形。在中，由余弦定理，得即，所以二面角A—BD—C为解法2：把AE与CF看成两条异面直线则EF为公垂线段，利用异面直线上两点间距离公式，有，故小结：解法2给出了利用异面直线上两点间距离公式间接求二面角平面角的方法。异面直线上两点间距离公式的内容如下：如图6，已知两条异面直线所成的角为，它们的公垂线段的长为。E、F分别在、上，且，，则图6公式中有、、、、EF五个量，若已知四个，便可求出另一个。若为平面与平面所成的二面角的平面角，则公式为【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题1.一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是两个平面平行的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，以每两条棱确定的平面中，与对角面AA1A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）（1）直线上有三个不同的点到平面的距离都相等，则；（2）过平面外三个不同的点，有且只有一个平面与垂直；（3）三条共点的直线两两垂直，则所得的三个平面两两垂直；（4）直线和平面、、都成等角，则A.0个B.1个C.2个D.3个4.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面距离的2倍，则这个二面角的度数为（）A.B.C.D.以上都不对5.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角（）A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定6.一条线段与一个直二面角的两个面都相交，这条线段与这两个平面所成角的和为（）A.B.不大于C.大于D.不小于7.、、、分别表示不同的直线，、、表示不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是（）（1），（2），（3），（4），A.1个B.2个C.3个D.4个8.直二面角的棱上取一点P，过P在、内分别作与棱成角的射线，则两射线所成的角为（）A.B.C.D.或9.在空间，下列命题中正确的是（）A.如果两直线、与直线所成的角相等，那么B.如果两直线、与平面所成的角相等，那么C.如果直线与两平面、所成的角都是直角，那么D.如果平面与两平面、所成的二面角都是直二面角，那么10.下列命题中正确命题的个数是（）（1）过平面外一点有且只有一个平面平行于已知平面；（2）过平面外一点有且只有一个平面垂直于已知平面；（3）过直线外一点有且只有一个平面平行于已知直线；（4）过直线外一点有且只有一个平面垂直于已知直线；A.1个B.2个C.3个D.4个11.四面体的四个面中，直角三角形最多有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题，正确的有（）（1）（2）（3）（4）A.（2）与（4）B.（3）与（4）C.（1）与（2）D.（1）与（3）二.填空题1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是侧面正方形BCC1B12.若点A为直二面角的棱上一点，两条长都等于的线段AB、AC分别在、内，且都与成，则BC的长为。3.已知菱形ABCD的对角线，沿BD把面ABD折起与面BCD成的二面角，则点A到面BCD的距离为。4.已知空间四边形ABCD中，，，则二面角A—BD—C的大小为。二面角A—BC—D的大小为。5.是正三角形，P是外一点，，若，则二面角P—AB—C的大小为。6.已知，，于M1，，NA是的斜线，若，，，，则。7.正方体ABCD—A1B1C1D1中M、N分别是棱B1C1和AA8.已知、是直线，、是平面，给出下列命题（1）若垂直于内的两条相交直线，则；（2）若平行于，则平行于内的所有直线；（3）若，，且，则；（4）若，且，则；（5）若，，且，则，其中正确的命题的序号是。三.解答题如图1，在三棱柱ABC—A1B1C1，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，并且。（1）求证平面；（2）若，，，求与平面所成角的大小。图1试题答案一.选择题1.B2.C提示：含两个底面和一个对角面共有三个平面3.C提示：命题（1）和（3）是真命题4.A5.D提示：当满足题设的两个二面角的棱不平行时，这两个二面角的大小关系不确定。6.B提示：可用特殊情形验证。当线段有一个端点在棱上时也满足题设条件，此时线段在二面角的一个面内，则线段与这个平面所成的角为。因此线段与二面角两个面所成角之和即为线段与另一个面所成的角，故应选B，并且当线段与另一个面垂直时取得。7.A提示：只有命题（4）是真命题8.D提示：由于是两射线所成的角，故应分锐角和钝角两种情形。9.C10.B提示：命题（1）和（4）是正确的，而（2）和（3）是错误的。11.D提示：如答图所示，平面BCD，为，，则由三垂线定理可知，则也为。因此四面体ABCD的四个面可以都是直角三角形，故选D。12.D二.填空题1.提示：由OC⊥OB，又OC⊥OA⊥平面AOB，又平面AOC，故平面平面AOC。2.或提示：设直线与AC所成锐角为，则，故，当时，，当时，，故BC的长为或。3.答图1提示：如答图1即AH为A到面BCD的距离由，则，在中，AH=AO4.，提示：如答图2所示，取E为BD中点，连结AE、CE则AE⊥BD，CE⊥BD，即为二面角的平面角，，，，则由知取F为BC中点，连结EF、AF即为二面角的平面角，，则答图25.提示：设P在上的射影为O，由PA=PB=PC，则O为正的中心，则，故，故。答图36.提示：如答图4，作于，连结、，由AN⊥MN，则由三垂线定理的逆定理知。在中，，，则在中，AN=，则在中，则答图47.提示：如答图5，设面BMN交棱于F，由于，则答图5设FN与