中子扩散理论

关于中子扩散理论2反应堆物理的核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空间和能量的分布第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能量的分布，φ(E)～E，即中子能谱本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即φ(r)～r第2页,共62页，2024年2月25日，星期天3Contents引言（输运过程、输运理论及扩散现象）单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度第3页,共62页，2024年2月25日，星期天4输运过程及输运理论中子状态的描述反应堆物理与屏蔽计算的基本方法

一、引言第4页,共62页，2024年2月25日，星期天51、输运过程（Transport）以及输运理论对于自然界的微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)，在介质中会发生无规则碰撞，使得单个粒子的运动形式是杂乱无章的，即某一时刻、在介质中某一位置、具有某种能量与某一运动方向

的粒子，在稍晚些时候，将运动到介质中的另一位置、以另一能量和另一运动方向出现，这一现象称之为粒子输运过程。对于大量粒子而言，其运动形式呈现出一定的统计规律，使得人类对粒子行为的研究成为可能。那么，用于描述粒子在介质中迁移的统计规律的数学理论，就统称为粒子输运理论。第5页,共62页，2024年2月25日，星期天6发展简史：最早的粒子输运理论是以Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)提出的“分子运动论”作为基础发展起来的；1872年，Boltzmann建立了著名的Boltzmann方程（又称输运方程），当时是用来描述气体从非平衡态到平衡态的过渡过程；1910年Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定了粒子输运理论的数学基础；1939年发现中子后，随着核反应堆和核武器的出现，中子输运理论得到极快发展；1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数方法，使得高精度地解析求解Boltzmann中子输运方程成为可能；1946年VonNeumann和Ulam等开发了第一个用概率论方法（MonteCarlo方法）计算中子链式反应的程序；1955年Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法)；在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件。第6页,共62页，2024年2月25日，星期天7中子状态:位置矢量r(x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向

(θ,φ)、时间t

：单位矢量，模等于1，方向表示中子的运动方向，通过极角和方位角来表示2、中子状态的描述第7页,共62页，2024年2月25日，星期天8中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间隔内，运动方向为

的单位立体角内的中子数目。中子角通量密度：沿方向在单位时间内穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子数目。

对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前面所定义的中子密度和中子通量密度第8页,共62页，2024年2月25日，星期天9中子输运理论的基本问题之一，就是采用中子角密度

（或中子角通量密度

）来描述中子输运过程。为了得到中子角通量密度

，需要建立描述中子输运过程的精确方程，即“玻尔兹曼方程”。它是一个含有位置r(x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向

(θ,φ)、时间t七个自变量的偏微分—积分方程，求解过程非常复杂，只有在极个别的简单情况下，才能求出解析解。第9页,共62页，2024年2月25日，星期天确定性方法(Deterministicmethod)数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解优点：计算快速缺点：模型简化不够精确，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等典型方法：离散纵标法（SN）非确定性方法(蒙特卡罗方法，MonteCarlomethod)：基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型缺点：计算耗时，特别是对于深穿透问题（Deep-penetration）混合方法研究热点3、反应堆物理与屏蔽计算基本方法10第10页,共62页，2024年2月25日，星期天11中子扩散理论求出介质内中子角通量密度的分布,才算对介质内中子的分布有了全面了解.要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方程。这是一个非常复杂和困难的任务.在本课程中，我们研究输运理论的简化形式－中子扩散理论。玻尔兹曼输运方程中子扩散方程单群中子扩散方程假设中子通量密度角分布各向同性假设中子具有单一能量本节内容第11页,共62页，2024年2月25日，星期天12菲克定律菲克定律的推导菲克定律和扩散方程的使用范围单能中子扩散方程的建立扩散方程的边界条件二、单能中子扩散方程第12页,共62页，2024年2月25日，星期天13分子扩散现象香水分子的扩散（无风状态）墨滴在静水中的扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散分子扩散是由于分子间的无规则碰撞产生的，使得分子从密度大的地方向密度小的地方扩散，并且分子扩散的速率与分子密度的梯度成正比，也就是服从“菲克定律”。同样，中子的扩散现象也服从“菲克定律”。只不过由于中子密度（1016m-3）比介质原子核密度（1028m-3）要小得多，因而中子的扩散主要是中子与介质原子核碰撞的结果，中子之间的碰撞可以忽略。1、菲克定律(Fick’slaw)第13页,共62页，2024年2月25日，星期天14中子从通量高的地方流向通量低的地方，通量差别越大，中子“流量”越大菲克定律：上式中的被称为中子流密度（简称中子流、或流。Current）.

中子流密度是一个向量,

其方向是通量场的负梯度方向.

其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上每秒穿过的净中子数目。单位：中子/cm2.S第14页,共62页，2024年2月25日，星期天15第15页,共62页，2024年2月25日，星期天16中子流密度是向量，可以写成三个分量之和其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度，每个分量可写成两个分量只差JZ+是沿z轴正方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数JZ-是沿z轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数第16页,共62页，2024年2月25日，星期天17如果某平面与中子流密度方向不垂直，那么每秒通过该平面上单位面积的净中子数是第17页,共62页，2024年2月25日，星期天18第18页,共62页，2024年2月25日，星期天19中子流密度与中子通量密度的差别:中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子通量密度用于计算核反应率，是标量

两者的量纲相同

当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子流数量（大小）相等。第19页,共62页，2024年2月25日，星期天20场论知识数量场φ的梯度向量场的散度

哈密顿算符

拉普拉斯算符

第20页,共62页，2024年2月25日，星期天21考虑稳态情况，同时假设：介质是无限的、均匀的；在实验室坐标系中散射是各向同性的；介质的吸收截面很小，即

a<<s(弱吸收介质)；

是随空间位置缓慢变化的函数。2、菲克定律的推导第21页,共62页，2024年2月25日，星期天22以所研究的点作为坐标原点第22页,共62页，2024年2月25日，星期天23考虑上半空间发生的散射使多少中子从上到下穿过dA首先考虑体积元dV中的散射中子有多少由于散射中子各向同性地飞向四面八方,飞向dA的只占一部分.这一份额等于dA的面积与以r为半径的球面积之比,再乘以cos

此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的dA,沿途的碰撞会使得部分中子“偏离航向”，此外还有一部分中子会被介质吸收掉第23页,共62页，2024年2月25日，星期天24第24页,共62页，2024年2月25日，星期天25

把上半空间所有地方的散射中子的贡献统统考虑进来,即对上半空间积分,就得到从上而下穿过dA的总中子数目。这个数目就是沿负z方向的分中子流密度乘以dA第25页,共62页，2024年2月25日，星期天26由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将

(r)

在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得第26页,共62页，2024年2月25日，星期天27

第27页,共62页，2024年2月25日，星期天28推导过程由于cosφ和sinφ从0到2π的积分为0，所以含有x，y项的积分将等于0，则可以得到第28页,共62页，2024年2月25日，星期天29分步积分洛必达法则第29页,共62页，2024年2月25日，星期天30第30页,共62页，2024年2月25日，星期天31

令，便完成了菲克定律之推导，得到斐克定律：中子流密度

正比于负的中子通量密度的梯度，其比例常数为扩散系数D第31页,共62页，2024年2月25日，星期天32介质是无限的、均匀的、散射各向同性；有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，斐克定律是近似成立的；在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。介质的吸收截面很小，即

a<<s；中子通量密度是随空间位置缓慢变化的函数。在强中子源附近，在强吸收体附近，或者两种扩散性质显著不同的交界面附近，斐克定律不适用；在较远处，近似成立3、菲克定律/扩散理论的适用范围第32页,共62页，2024年2月25日，星期天33在实验室坐标系中散射是各向异性的；利用输运自由程

tr来对各向异性进行修正则效果更佳（考虑了实验室系中散射的各向异性）第33页,共62页，2024年2月25日，星期天34原因

第34页,共62页，2024年2月25日，星期天35讨论左右两边通量分布相同,材料散射截面不同,请问:交界面上有无从左到右的净中子流?据菲克定律,没有净中子流.据碰撞扩散机理,似乎有净中子流.

？孰是孰非第35页,共62页，2024年2月25日，星期天36

第36页,共62页，2024年2月25日，星期天37

中子数守恒（中子数平衡）：在一定体积内，中子总数对时间的变化率应等于在该体积内中子的产生率减去该体积内中子的吸收率和泄漏率。(3-25)4、单能中子扩散方程的建立第37页,共62页，2024年2月25日，星期天38中子泄漏的计算考察右图，通过平行于平面的两个表面逸出体积元的中子泄漏率为沿Z方向单位体积的中子泄漏率是对和方向可以采用类似的表达式。第38页,共62页，2024年2月25日，星期天39中子泄漏的计算结果，每单位体积内中子的泄漏率

第39页,共62页，2024年2月25日，星期天40产生率：吸收率：(3-28)(3-29)中子连续方程：(3-31)第40页,共62页，2024年2月25日，星期天41利用斐克定律(3-32)如果扩散系数D与空间位置无关，可得(3-33)因此，如果斐克定律成立，连续方程可写为下式，即单能中子扩散方程(3-34)假设中子通量密度不随时间变化，可得稳态单能中子扩散方程(3-35)第41页,共62页，2024年2月25日，星期天42第42页,共62页，2024年2月25日，星期天43常用的边界条件：在扩散方程适用范围内，中子通量密度必须为正的、有限的实数。在两种不同扩散性质的介质交界面上，垂直于分界面的中子流密度相等，中子通量密度相等。(3-37)(3-38)(3-39)(3-40)将及表达式带入上两式，然后分别相减、相加可得：5、扩散方程的边界条件第43页,共62页，2024年2月25日，星期天44(3)介质与真空交界的外表面上，自真空返回介质的中子流为零，即(3-41)

这一边界条件显然非常严格，但使用起来有时有些不便，因为扩散方程中的函数是通量不是中子流，更不是偏中子流第44页,共62页，2024年2月25日，星期天45反应堆的外表面可以看作该情况。(3-42)(3-43)直线外推距离d(3-44)

因扩散理论在真空边界处不适用，利用输运理论进行修正可得：d=0.7104

tr

。在自由表面外推距离d处，中子通量密度等于零。第45页,共62页，2024年2月25日，星期天46外推距离处中子通量真为零吗？Absolutelynot!这个边界条件是说，如果按通量在真空边界上的斜率外推的话，在外推边界处通量降为零。

实际上，堆外中子通量变化并不如外推线所示那样。我们用外推边界条件，是为了解出堆内的通量分布。第46页,共62页，2024年2月25日，星期天47非增殖介质内中子扩散方程无限介质内点源的情况（球坐标系）无限平面源位于有限厚度介质内的情况包含两种不同介质的情况三、非增殖介质内中子扩散方程的解第47页,共62页，2024年2月25日，星期天48稳态单能扩散方程为若S(r)=0，即对于无源区域，扩散方程为（波动方程）或其中L称为中子扩散长度(3-46)(3-47)(3-48)(3-49)非增殖介质内的中子扩散方程第48页,共62页，2024年2月25日，星期天49常见几何波动方程

2

±

B

2=0

的解第49页,共62页，2024年2月25日，星期天1.无限介质内点源的情况（球坐标系）边界条件为：除r=0处以外，中子通量密度在各处为正的有限值；中子源条件：引入一个新的变量u=r

，则(3-50)式可变为(3-50)推导过程第50页,共62页，2024年2月25日，星期天511.无限介质内点源的情况（球坐标系）方程普遍解为可得根据边界条件(1)可知，C=0；由边界条件(2)有因此中子通量密度为(3-51)根据斐克定律有第51页,共62页，2024年2月25日，星期天522.无限平面源位于有限厚度介质内的情况

设在厚度为a的无限均匀平板的中心面上有一源强为S的平面源，此时扩散方程为(3-52)边界条件为：当x=±(a/2)时，

(±a/2)=0;中子源条件：当x>0时，(3-52)解为(3-53)由边界条件(1)可得(3-54)因此根据边界条件(2)可以求出(3-55)中子通量密度为(3-56)第52页,共62页，2024年2月25日，星期天53(3-57)考虑系统对称性，用|x|代替上式中的x，可得对所有x均适用的表达式对于无限厚度平面源，a→，有(3-61)第53页,共62页，2024年2月25日，星期天54当a/L=3（介质厚度为中子扩散长度3倍时）时，除在边界附近外，中子通量密度的分布与无限介质内的分布相差不多。薄板泄露较大，边界处中子通量密度下降很快；厚板（大于三个扩散长度），大部分中子在到达边界以前被散射回来，泄露很小==〉反应堆没有必要采用过厚的反射层第54页,共62页，2024年2月25日，星期天553.包含两种不同介质的情况P76第55页,共62页，2024年2月25日，星期天56扩散长度(diffusionlength)(3-75)大多数元素的散射截面与能量无关，当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于(3-76)将上式代入(3-75)式可得(3-77)四、扩散长度、慢化长度和徙动长度第56页,共62页，2024年2月25日，星期天57考虑无限介质内有一热中子点源的情况，

在的球壳内，第57页,共62页，2024年2月25日，星期天58扩散长度的物理意义：热中子扩散长度的平方,等于无限大介质中的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的直线距离的均方值的六分之一.第58页,