矩阵论简介及线性代数复习

矩阵论1前言矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。2问题一线性方程组的求解给定一个m个方程n个变量的线性方程组记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为3其中解的形式：（1）当m=n，且A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为当m=n，且A不可逆时，或者当时，线性方程组的解又如何表示呢？特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。广义逆矩阵问题4问题二矩阵的算术运算矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算5如何定义矩阵的除法运算在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为X=A-1

B问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。6问题三矩阵的分析运算在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。7问题四矩阵的简单形式矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论矩阵的标准形和矩阵分解问题。常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。8课程教学内容一线性空间及线性映射（变换）

内积空间相似矩阵二范数理论三矩阵分析四矩阵分解五特征值的估计及对称矩阵的极性六广义逆矩阵七若干特殊矩阵类介绍(自学)9所用教材

矩阵论西北工业大学出版社程云鹏主编学习本课程所需掌握的基础知识：线性代数有关知识与微积分初步10课程教学要求通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。

要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。

11常用记号一用R表示实数域，用C表示复数域。Rn

表示n维实向量集合；Cn

表示n维复向量集合；

表示实矩阵集合；表示复矩阵集合；12常用记号二

n阶单位矩阵n阶矩阵的行列式矩阵A的范数向量b的范数n阶矩阵A的逆矩阵A-1;

矩阵A的广义逆矩阵A+,A-13复数基本知识称下列形式的数为复数z=a+bi其中a,b都是实数，i2=-1;称a是复数z的实部，bi是复数z的虚部；Z的共扼复数为14代数基本定理任意n次多项式必有n个复根。即其中15线性代数的有关知识1.矩阵的概念

1)矩阵的定义

定义1

由m×n

个数aij(i=1,...,m;j=1,…,n)排成m

行n

列的数表16叫做m

行n

列矩阵,简称m×n

矩阵.这m×n

个数叫做矩阵的元素,aij

叫做矩阵A

的第

i

行第j

列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵,(1)式也简记为

A=(aij)m×n

或A=(aij),m×n矩阵A

也记作Am×n.17

2)方阵列矩阵行矩阵对(1)式,

当m=n

时,A

称为

n

阶方阵.

当m=1时,A

称为行矩阵.

当

n=1时,A

称为列矩阵.

18

3)同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij

(i=1,…,m;j=1,…n),那么就称A

与B

相等,记作A=B.19

4)零矩阵单位矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.

主对角线上的元素都是1,其它元素都是0的

n阶方阵,叫做n

阶单位方阵,简记作E

或I.20

5)

主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵.6)

除了主对角线以外,其它元素全为零的方阵称为对角矩阵.21

2.矩阵的运算

1)矩阵运算的定义设A=(aij)s×n

,B=(bij)t×m

为两个矩阵,当s=t,n=m

时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为

A+B=(aij+bij)A+B

称为A

与B

的和.22

当n=t

时可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(i=1,2,…,s;j=1,2,…,m),AB

称为A

与B

的积.

设k

为实数,定义

kA=(kaij)则称kA

为A

与数k

的乘积.23矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算二个线性变换为则它们的复合为24

2)矩阵的运算性质

(i)矩阵的加法满足

交换律:

A+B=B+A,

结合律:(A+B)+C=A+(B+C).

(ii)矩阵的乘法满足结合律:(AB)C=A(BC).

25

(iii)矩阵的法和加法满足分配律

A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA.

(iv)数乘矩阵满足:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;

k(lA)=(kl)A;k(AB)=(kA)B=A(kB).26

3)方阵的幂设A

是n

阶方阵,定义

A1=A,A2=A·A,…,Ak+1=Ak

·A,其中k

为正整数.

4)方阵的行列式由n

阶方阵A

的元素所构成的行列式,叫做方阵A

的行列式,记作|A|或detA.27

3.一些特殊的矩阵

1)

设A

为m×n

阶矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做A

的转置矩阵,记作A

或AT

矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有

(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.

28

2)、共轭转置矩阵

当

A=(aij)为复矩阵时,用表示aij

的共轭复数,记称为A

的共轭转置矩阵.29共轭转置矩阵有以下运算规律(设A,B

为复矩阵,

为复数,且运算都是可行的):303)设，如果，则称是Hermite矩阵，如果，则称是反Hermite矩阵。，如果，则称是（实）对称矩阵，如果，则称是（实）反对称矩阵。

设31设A

为

n

阶方阵,若满足A2=A,则称A

为幂等矩阵.若满足A2=E,则称A

为对合矩阵.若满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵.32

5)

行列式|A|的各元素的代数余子式Aij

所构成的方阵叫做方阵A的伴随矩阵.

伴随矩阵具有重要性质:AA*=A*A=|A|E.33

1.任何两个矩阵A、B

都能进行加(减),相乘运算吗?

思考答不是.(1)只有当A,B

为同型矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B

的行数相同时,A

与

B

才能相乘,这时AB

才存在.34

2.两个矩阵A、B

相乘时,AB=BA

吗?|AB|=|BA|?

答

AB

不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB

和

BA

都存在,此时A、Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,AB

BA.但对同阶方阵

A、B,|AB|=|BA|

是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.35

3.若AB=AC

能推出B=C

吗?则AB=AC,但B

C.答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如36

4.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?但又如但答非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如37

5.设A与B

为n

阶方阵,问等式

A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于

(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=0，即AB=BA.38

4.逆阵的概念

1)

设A

为n

阶方阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B

称为A

的逆矩阵.若有逆矩阵,则A

的逆矩阵是唯一的,记作A-1.2)相关定理及性质

(i)

方阵A

可逆的充分必要条件是:|A|0.

(ii)

若矩阵A

可逆,则A-1=A*/|A|.39

(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/

A-1(

0);(AT)-1=(A-1)T.

(iv)

若同阶方阵

A

与B

都可逆,那么AB

也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.

5.矩阵的分块运算矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证,其运算法则同普通矩阵类似.40两种常用的分块法1).按行分块对于m

n

矩阵A

可以进行如下分块：412).按列分块对于m

n

矩阵A

可以进行如下分块：42对于矩阵A=(aij)m

s

与矩阵B=(bij)s

n的乘积矩阵AB=C=(cij)m

n

，若把A

按行分成m

块，把B

按列分成n块，便有=(cij)m

n

，43以对角矩阵

m左乘矩阵Am

n时，把A

按行分块，有以对角矩阵

m左乘A

的结果是A

的每一行乘以

中与该行对应的对角元.44以对角矩阵

n左乘矩阵Am

n时，把A

按列分块，有以对角矩阵

n右乘A

的结果是A

的每一列乘以

中与该列对应的对角元.45（1）表示什么？思考设是标准单位坐标向量，则（2）表示什么？（3）表示什么？466、线性方程组的各种形式对于线性方程组记47其中A

称为系数矩阵，x

称为未知向量，b

称为常数项向量，B

称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，可记B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（2）以向量x

为未知元，它的解称为方程组（1）的解向量.48如果把系数矩阵A

按行分成m

块，则线性方程组Ax=b

可记作或这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi记作49如果把系数矩阵A

按列分成n

块，则与A

相乘的x应对应地按行分成n

块，从而记作即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的各种变形.今后，它们与（1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程.50Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）51

7、初等变换

结论:每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵也称为Hermite标准形

。

思考：初等变换的应用？求逆；解方程组；解矩阵方程;判断向量组的秩和矩阵的秩等等.52例1设试用初等行变换将A化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。53解54继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：5556解例2

用初等行变换解方程组5758为矩阵A的相抵标准型。结论：对于任何m×n型非零矩阵A，可经过有限次初等变换化成相抵标准型，即存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵使得定义称矩阵59

8.n

维向量

1)

2)

向量的相等,零向量,负向量.60

3)

向量的线性运算当

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,则＝△

+

(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)T;＝△

(a1,a2,…,an

)T,其中

R.61

4)

线性运算满足下列八条规律:

+

=

+

;(

+

)+

·=

+(

+

·);

+0=

;

+(-

)=0;1·

=

;

(

)=(

)

;

(

+

)=

+

;(+)

=

+

,其中

,

,

·为n

维向量,

,

R.62

9.线性相关与线性无关

1)

线性组合线性表示线性相关设有n

维向量组A:

1,

2,…,

m,B:

1,

2,…,

s,对于向量

,如果有一组数

1,

2,…,

m,使

=

1

1+

2

2+…+

m

m,则称向量

是向量组A

的线性组合,或称

可由A线性表示.63如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,使k1

1+k2

2+…+km

m=0,则称向量组A

线性相关,否则称A

线性无关.

如果向量组

A

中的每一个向量都能由向量组B

中的向量线性表示,则称向量组A

能由向量组B

线性表示

.如果A

能由B

线性表示,且B

也能由A

线性表示,则称A

与B

等价.

向量组之间的等价关系具有自反性

,对称性,传递性.64

2)

线性相关的性质

定理1向量组

1,

2,…,

m(m2)线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量组可由其余m-1个向量线性表示.

定理2

设

1,

2,…,

m

线性无关,而

1,

2,…,

m,

线性相关,则

能由

1,

2,…,

m

线性表示,且表示式是唯一的.65

3)

线性相关性的判定定理

定理3

若

1,

2,…,

r

线性相关,则

1,

2,…,

r,

r+1,…,

m

也线性相关.

定理4

r

维向量组的每个向量添上n-r

个分量,成为n

维向量组,若r

维向量组线性无关,则

n

维向量组也线性无关.反言之,若n维向量组线性相关,则

r

维向量组亦线性相关.66定理5

m

个n

维向量组成的向量组,当维数n

小于向量个数m

时一定线性相关.67

10.向量组的秩

1)定义设有向量组T,如果

(i)

在T

中有r

个向量

1,

2,…,

r

线性无关;

(ii)

T

中任意r+1个向量(如果T

中有r+1个向量的话)都线性相关,那么称

1,

2,…,

r

是向量组T

的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组;数r称为向量组T

的秩.并规定:只含零向量的向量组的秩为0.68

2)性质

性质1

向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩.

性质2

设矩阵A

的某个

r

阶子式D

是A

的最高阶非零子式,则D

所在的r

个行向量即是矩阵A的行向量组的一个最大无关组;D

所在的r

个列向量组即是矩阵A

的列向量组的一个最大无关组.

性质3

R(A)=A

的行秩=A

的列秩.69

性质4

设向量组A:

1,

2,…,

r

是向量组T的一个最大无关组,则向量组A

与向量组T

等价.

定理6

设有两个向量组:

A:

1,

2,…,

r,

B:

1,

2,…,

s

,如果A

组能由B

组线性表示,且A

组线性无关,则A

组所含向量个数

r

不大于B

组所含向量个数s,即r

s.70

推论1

设向量组A

的秩为r1,向量组B

的秩为r2,若A

组能由

B

组线性表示,则r1

r2.

推论2

等价的向量组有相同的秩.

71定义矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩例的列秩为2，同理，A的行秩也为210、矩阵的秩72（1）子式判别法(定义)。

（2）用初等变换法求矩阵的秩。

依据:矩阵初等变换不改变矩阵的秩。作法阶梯形矩阵B，

则秩(A)=B的阶梯数。

例2，=>

秩（A）=2思考:矩阵秩的求法73关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是矩阵，B是矩阵，性质2如果AB=0则性质3如果R(A)=n,且

AB=0则B=0。性质4性质5设A,B均为

矩阵，则74重要结论设A是矩阵，R(A)=r，则A为矩阵A的等价(相抵)标准形矩阵。设A，B是矩阵，(3)存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使1、与矩阵等价。称2、则以下三个条件等价（1）A与B等价；75

例求向量组

1=(1,0,2,-1),

2=(3,0,6,-3),

3=(-2,1,-4,4),

4=(2,2,5,0),

5=(-1,-1,7,-19)的一个最大无关组,并用它表示其余向量.

解构造矩阵A=(

1T,

2T,

3T,

4T,

5T),76行变换所以一个最大无关组为

1,

3,

4,且

2=3

1,

5=-57

1-19

3+9

4.7711.向量空间

1)

设V

为

n

维向量的集合,如果集合V

非空且集合V对于加法入乘数两种运算封闭,那么就称集合V

为向量空间.

所谓封闭,是指对

V,

V

及k

R,则

+

V,k

V.78

2)

由向量组

1,

2,…,

m

所生成的向量空间为:

V={x|x=k1

1+k2

2+…+km

m,k1,…,km

R}3)设的列向量为，则称为的列空间或的值域。79构成了向量子空间，称为齐次方程组的解空间或矩阵的零空间或核空间。解的全体4)齐次方程组5)

设有向量空间V1

及V2,若V1

V2,就称V1

是V2

的子空间.806)

设V

为向量空间,如果r

个向量

1,

2,…,

r

V,且满足

(1)

1,

2,…,

r

线性无关;

(2)

V

中任一向量都可由

1,

2,…,

r

线性表示,那么,向量组

1,

2,…,

r

就称为向量空间V的一个基,r

称为向量空间V

的维数,并称V

为

r

维向量空间.81下列命题等价：（1）Ax=0有非零解；（2）A

的列向量组线性相关；（3）r(A)<n.定理2下列命题等价：（1）Ax=0只有零解；（2）A

的列向量组线性无关；（3）r(A)=n.齐次方程组Ax=0解的存在性定理112、线性方程组的求解82（1）当时，Ax=b无解；

利用系数矩阵与增广矩阵的秩，得到型非齐次方程组Ax=b解的情况如下：（2）当时，Ax=b有唯一解；

（3）当时，Ax=b有无穷多解。

83例求方程组通解和一个基础解系。解对方程组的系数矩阵作初等行变换84同解方程组为:

为自由未知量。

则方程的一般解为：85方程组的通解为方程组的一个基础解系为86思考

1.若向量组

1,

2,…,

r

线性相关,那么是否对于任意不全为零的数k1,k2,…,kr,都有

k1

1+k2

2+…+kr

r=0?答结论是否定的.因为按定义,向量组

1,

2,…,

r

线性相关是指存在不全为零的数k1,k2,…,

kr

使得

k1

1+k2

2+…+kr

r=087例如，取

1=(1,0,0),

2=(2,0,0),则2

1-

2=0,则，

1,

2

线性相关.若取k1=1,k2=2,那么

k1

1+k2

2=

1+2

2=(5,0,0)(0,0,0),这说明并非对任意不全为零的k1,k2,都能使

k1

1+k2

2=0.88

2.若向量组

1,

2,…,

r

线性无关,那么是否对于任意不全为零的数

k1,k2,…,kr,使得

k1

1+k2

2+…+kr

r0?

答结论是肯定的.因为若存在不全为零的数k1,k2,…,kr,有