华罗庚数学课本六年级

第一章分数的简便计算在分数计算咩，经常会出现类似下面的题目：如果不去观察、尝试，找出其中的奥秘，将很难解决这样的问题。同学们，你们能想出好的办法吗?本章将就这样的问题，从约分法和分数的拆分角度加以解决。只要在平时的学习中多研究、多尝试、多思考，你还会想出更好、更奇妙的方法，试试吧!第一节巧用运算定律和性质探究目标1.能够根据四则运算的定律及性质使一些计算变得简便。2.能利用和、差、积、商的变化规律进行简便运算。3.进一步提高分析、抽象、综合、概括等能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!例用简便方法计算建议：1.先观察题目中数字的特点，找出能够简便的方法。2.要能够合理应用运算定律。能够运用乘法分配率壹行简便计算。能够运用乘法分配率过行简便计算。证明：题中第一组和第三组的两个乘式可以利用乘法分配律简便计算，第二组和第四组的两个乘式可以利用乘法分配咎简便计算。所以，[完全解题]通过观察发现看成这样就可以运用乘法的分配律达到简算目的。通过观察，还可以发现55加上1正好等于56,所以也可以这样简算：[技法点睛]本题关键是先要观察题目的特点，可以将第一个因数变化，也可以将第二个因数进行变化。[完全解题]题中的就是,即[技法点睛]本题中关键是将4改写成再运用乘法分配率进行简[完全解题]根据运算性质可以把6改写成36÷3.÷3.6.[技法点睛]本题的关键是将算式中的某个整体看作一个数，再运用有关定律进行简便0.65)×(0.23+0.34).[完全解题]仔细观察，这组算式中的数就是1,0.23,0.34,0.65,它们按某种规律排列，像这样的题目可以将它的某一部分看作一个整体，用字母代替，这样可简化计算的过设A=0.23+0.34,B=0.23+0.34+0.65。原式=(1+A)×B-(1+B)×A=B+AB-A—AB(AB与BA一样的结果，且可相互抵消)[技法点睛]本题从题目本身看是不能简便计算的，所以要善于运用拆数的方法。例5(2003·浙江省小学数学活动课夏令营)计算：[完全解题]利用乘法的分配律，可以将每组中的两个分数分别与相乘，然后再利用乘法分配律将其重新整理。49、46、43、…、1是一组等差数列，一共(49-1)÷3+1=17个数，所以一共有17组这样的和相加。[技法点睛]本题在利用乘法分配律之前，要运用等差数列求和的方法求出这些数的和例6(2002·天津市数学学科竞赛)计算：[完全解题]对于这样三组分数乘整数中的三个分数就变得相同了，利用乘法分配律将其简便计算。[技法点晴]在整数与分数相乘中，对于者.可以变式为或者等形式，这样的变式有利于找出相同的因数，从而可以利用乘法分配律进行简便计算。例7(2002·四川省小学生数学夏令营)计算：[完全解题]题目中每组两个因数中的第一个因数接近一个整十数，并且这个整十数正好是第二个因数分母的倍数。利用约分的方法进行简便计算。[技法点睛]当一个数接近整十、整百……时，可以先将其看作整十、整百数……,然后再利用乘法分配律进行简便计算。例8(2002·我爱数学少年夏令营)计算：然后利用[完全解题]然后利用,乘法的分配律进行简便计算。5[技法点睛]在运用乘法分配律进行计算时，可以将若干个数的和看作一个整体，为使计算过程简便，可以将相同的一组数用字母代替。创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.(2003·小学数学奥林匹克预赛)3.51×49+35.1×5.1+49×51的结果是()。A.2853.(2003·浙江省小学数学活动课夏令营)99×43+98×42+97×41的结果是()。二、填空题。(每题5分，共20分)1.(2003·广东省小学六年级数学竞赛)2.(2003·天津市数学学科竞赛)1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17 3.(2004·小学数学奥林匹克预赛)(4.(第一届“陈省身”杯数学邀请赛)85.42×7903.29-286.5×790.329+79032.9×4.323二。三、解答题探究目标1.能够利用约分的方法直接将分子、分母中公有因式进行月份从而达到简便计算的目的。2.能够灵活地根据四则运算的性质将分子、分母转化、改写、变形等，找出其公有的因式，达到用约分法简便计算的目的。3.进一步提高分析、抽象、概括的能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!,例有2000个桃子，猴王分给一批猴子吃，第一天吃了总数的,第三天吃了第二天余下的以后每天都吃前一天余下的、第二天吃了余下的最后还剩下多少个桃子?建议：1.先找出每天吃的相当于总数的几分之几。2.通过列式探索其中的规律。讨论：1.每天吃的都是前一天余下的几分之几，所以，可以依次进行乘法计算剩余的2.前一天分数的分母与后一个分数的分子正好能约掉。证明：第一天吃了以后还余下,第二天吃了以后还余下2000×(1-,依此类推，一直到吃去前一天的后还余下2000×=1(个)所以最后还剩下1个桃子。[完全解题]题中的分子部分每一个加数都是分母中每一个相应加数缩小10倍的结果，可将分母部分处理成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×10,而分子部分可写成(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)×1这样就可将公有的(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7)约去。[技法点睛]本题中的分子与分母只是小数位数的不同，可以利用乘法分配率将其整理。[完全解题]利用这样分子分母中就有相同的因式[技法点睛]本题中的被除数与除数中分数部分的分母是相同的，可以利用乘法分配率将其写成若干个分数单位和的形式。[完全解题]1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8这样可与分母部分的888888×888888约分。[技法点睛]本题中的分子具有一定的规律，正好是8个8的和，所以分子与分母可以[完全解题]分子分母中没有公有的因式可以直接约。但通过观察分子分母中数的特征，可以转化为两种：一是将分子变化，1993+1992×1994=1994-1+1992×1994=1994×1993一1;二是将分母变化，1993×1994-1=(1992+1)×1994-1=1992×1994+1993.或[技法点睛]本题中的分子与分母要进行变式，可以将分子变的与分母一样，也可以将分母变的与分子一样。[完全解题]1+3+5+7+…+199=(1+199)×100这样分子和分母中都有100÷2。可用约分法进行简算。[技法点晴]本题中的分子与分母都是等差数列，可以利用数列求和的方法进行约分。[完全解题]将5×6×7×8×9看作A,1×2×3×4×5看作B,则原式变为[技法点睛]本题中的分子有一部分与分母相同，为了解题方便，可以将每个乘式看作一个整体。[完全解题]1234567891²=1234567891=1234567891×123456789=1234567890×123456789这样分母部分的差为1。AA[技法点睛]本题的关键是利用乘法分配率将分母进行变式。[完全解题]1×2=1×1×(1×2)2×4=2×2×(1×2)即1×2+2×4+3×6+4×8=1×2×(1×1+2×2[技法点睛]本题的关键是将分子与分母进行变式，将相同的因数进行分类整理，再根据乘法分配率进行约分。创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.(2004·我爱数学少年夏令营)等于()。2.(第一届“陈省身”杯数学邀请赛)等于()3.(吉林省第十届小学数学邀请赛)等于()。4.(2004·四川省小学数学邀请赛)二、填空题。(每题5分，共20分)1.(2004·四川省小学生数学夏令营)2.(2004·我爱数学少年夏令营)3.(第一届“陈省身”杯数学邀请赛)4.(吉林省第九届小学数学邀请赛)三、解答题。(每题20分，共60分)探究目标1.能灵活运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列求和的计算简便。2.进一步提高分析、综合、抽象、概括等能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!例(2001·我爱数学少年夏令营)计算：建议：1.仔细观察题目的特点，找出解题的方法。2.想办法将分数变化形式。讨论：1.分数的分母依次是等差数列的和，可以用求和的公式进行整理。2.将分数的分母变成等差数列求和的形式，然后根据1除以一个数的特点改写成倒数的形式，最后将分数的分母变换成两个连续自然数相乘的形式，这样就可以利用分数拆分的方法进行简便计算了。证明：每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。[完全解题],,…[技法点睛]本题是直接利用拆项的方法，将每个分数拆成相应的减法形式。[完全解题][技法点睛]本题分母中的两个因数相差3,故是分数的拆分和乘法分配率的综合应用。[完全解题],[技法点睛]本题中每个分数的分母是三个连续自然数的积，直接利用拆分的规律进行计算。[完全解题]这道题中各分数的分子都是1,分母依次是等差数列，可将其变形为[技法点睛]本题中每个分数的分母都是若干个连续自然数的和，可以将分母用等差数列求和的形式表示出来，再根据1除以一个数就是这个数的倒数的特点进行简便计算。例5(2002·第十二届《祖冲之杯》小学数学竞赛)计算：[完全解题]观察每个分数的分母，可以发现，它们都是两个相邻自然数的积。所以可以利用分数拆分的方法进行计算。[技法点睛]本题巧用分数拆分的方法，分数的分母是两个连续自然数的积，分子正好是这两个自然数的和，所以可拆成这两个自然数作分母的分数单位的和。例6(2003·浙江省小学数学活动课冬令营)计算：[完全解题]对于这四个分数，可以拆成两个分数的和，对这三个分数，可以拆成两个分数的差，然后再根据题中的相关分数合并。、[技法点睛]根据题目的特点巧妙地将一些分数拆成两个分数的和或者两个分数的差，然后再根据加减法的性质进行简便计算。例7(2002·我爱数学少年夏令营)计算：A[完全解题]先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法的分配律进行简A[技法点睛]题目中所有的分数分母为n(2≤n≤60),利用求和公式：创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.(吉林省第九届小学数学邀请赛)B2.(2004·浙江省小学数学活动课夏令营)二、填空题。(每题5分，共20分)2.(2002·天津市数学学科竞赛)3.(2002·天津市数学学科竞赛)解答题。(每题20分，共60分)本章测试卷(满分100分)一、直接写出结果。(每题3分，共30分)二、计算题。(每题4分.共40分)三、解答题。(每题10分，共30分)1.求分母是63的所有最简真分数的和。2.求小于1000的既能被3整除，又有约数5的所有自然数的和。3.王师傅5月1日开始加工零件，第一天加工10个，以后每天都比前一天多加工2个，那么到5月31日加工多少个零件?这一个月一共加工了多少个零件?第二章分数应用题永丰小学开展“献爱心”活动，号召每位同学向希望小学捐出自己的零花钱。六(1)班小明捐出零用钱的,小亮也捐出零用钱的你能知道，他们俩谁捐的钱多吗?肯定有同学认为两人捐的钱一样多。实际上，这一题有三种可能：第一种，如果小明的零用钱比小亮的多，那么小明的捐款多；第二种，如果小明的零用钱比小亮的少，那么小明的捐款少；第三种，如果小明的零用钱和小亮的一样多，那么两人的捐款一样多。上面这个问题之所以在在三河做，效标上是出分数法用题的特点面依定的。是对于某个标准量而言的，也就是说，是“谁”的几分之几，这里“谁”就是单位“1”。那么小明零用钱和小亮零用钱的是相对不同的单位“1”而言的，由此造成两人捐款的多少取决于两人本身原有零花钱的多少。因此在解决分数应用题时，明确单位“1”是非常关键的，否则就要出现错误。在日常生活、生产劳动中，我们会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。这一章，我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律。第一节分数应用题的基本类型探究目标1.理清分数应用题的解题思路，明礴单位“1”,以及具体数量与分率的对应关系。2.体验对分数应用题的探究过程，加深对分数应用题的认识，总结分数应用题的解题规律。3.渗透灵活应用分数应用题解题方法意识，提高解答分数应用题的能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!分数应用题的一般题型可以分为以下两种类型：1.求一个数的几分之几是多少?2.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。讨论：实际上，分数应用题的基本解题思路和我们所学的倍数应用题的解题思路是一致的。我们可以用下面两题为例说明：(1)梨树20棵，桃树棵数是梨树的两倍。桃树多少棵?要求桃树多少棵，就要求梨树棵数的两倍是多少，用“20×2”计算，这就是倍数应用题。(2)梨树20棵，桃树棵数是梨树的桃树多少棵?要求桃树多少棵，就是要求梨树棵数的是多少，用计算，这就是分数应在解答分数应用题时，首先要找出题目中的关键句进行分析，通过分析关键句，确定把什么看作单位“1”,找出解题的数量关系式，再根据一个数乘以分数的意义列式解答。如上面第(2)题中关键句是“桃树棵树是梨树的,把梨树棵数看作“1”,关系式是：“梨,要求梨树棵数，就用“桃树爆数÷分数应用题在工农业生产和实际生活中应用十分广泛。这一类应用题的变化很多，但只要抓住关键句进行分析，弄清其中的单位“1”,明确数量关系式，认真思考，也不难发现其中的解题规律。建议：在解答基本的分数应用题时，要抓住题目中的关键句进行分析。首先明确“1”,如果单位“1”已知，用乘法计算：如果单位“1”未知，要先求出单位“1”,用除法或列方程计算；其次，在列式时要考虑具体数量和分率之间的对应关系。例1一桶油，第一次用去正好是4升，第二次又用去这桶油还剩多少升?[完全解题]由于其中的两个分率和都是把这确础的总数什为“”,我们要先求出这桶油一共多少升?根据题意可以知道，一桶油的正好是4升，可以求出这要求还剩多少升，我们可以先求出还剩这桶油的几分之几：则还剩多少升可以这样计算：答：还剩5升。[技法点睛]该题关键在于找出“第一次用去4升”和几分之几对应。求还剩多少升，就是求这桶油的几分之几是多少。请你想一想，你认为求“还剩多少升?”还可以怎样列式?例2某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的丢第三次完成450个，结果超出计划的计划生产零件多少个?[完全解题]把“计划生产的零件个数”当作“1”,根据题意，我们首先要求出450个零件占计划任务的几分之几。实际上“450个零件”可以分为两部分：一是完成剩下的任;二是超出计划的那么计划生产零件的个数就是：答：计划生产零件1400个。[技法点睛]我们在解答时关键在于找出具体数量的对应分率。这道例题我们也可以设“计划生产零件x个”,用方程的方法解答，你试试看!例3王师傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54个，第二、第三和第四天共做了90个。已知第二天做的个数占这批零件的这批零件一共有多少个?.=120(个)答：这批零件一共有120个。[技法点睛]把这批零件的总数看作单位“1”,而54+90=144(个)对应的分率应为这批零件的总数单位“1”和第二天做的,因此，可以求出这批零件的总数。例4六(1)班男生的一半和女生的共16人，女生的一半和男生的共14人。六(1)班共有学生多少人?[完全解题]根据题意：生|生|加上“女生的)八也就是男生与女生和的即全班人数的是30人。“男生的“男生的“男生=40(人)答：六(1)班共有学生40人。[技法点晴]本题关键在于我们要理解：“男生的加上“女生的也就是男生与女即全班人数的是30人。如果能够理解上面的推理过程，问题就迎刃而解了。创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.一个粮食仓库，原来存有一批粮食，运；,又运来5.6吨，这时现有存粮是原2.一种石英表，先涨价然后降价,这时售价49.5元，原价()元。3.小红读一本书，第一天读了全书第二天读了余下的两天共读30页，这4.车间有52名工人，后来又调进4名女工，这时女工人数是男工人数这个车二、填空题。(每题5分，共20分)1.把甲班人数调入乙班后，两班人数相等，原来乙班人数是甲班人数的2.一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的后，超过中点千米，甲、乙两地全程3.两袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋大米重量是乙袋大米的两袋大米原来共有千4.两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的倍，甲桶油用去6千克，乙桶油用去1.5千克后，两桶油剩下的一样重。甲桶油原来有千克，乙桶油原来有千克。三、解答题。(每题20分，共60分)1.一辆汽车，从车站开出时坐满了人，途中到达某站，有的乘客下车，又有21人上车，这时有6位乘客没有座位，这时车内有乘客多少人?,2.两堆煤，从甲堆煤运责乙堆煤运走一部分后剩这时甲堆重量是乙堆重量,的甲堆原有120吨，乙堆原有多少吨?3.一条水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的这时剩下的与挖好的相等。这条水渠有多长?第二节单位“1”的转化探究目标1.根据题意，能够转化题中的单位“1”,统一单位“1”。2.根据“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句，转化出甲、乙两数之比来解答分数应用题。3.善于发现题中的不变量，抓住不变量进行分析。利用“不变量”作为中间条件进行解答；以不变量作为单位“1”,转换题中的关键句，统一单位“1”,然后再进行解答。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!有的时候在一些分数应用题当中，会出现一些变化量，造成题目中单位“1”的量无法确定，为解题增加了难度；我们在解答分数应用题时，有时也会发现“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句。诸如此类，我们在解题的时候，必须通过一定的转化确定题目中的单位“1”。当题目中出现变化量，造成题目中单位“1”的量无法确定的时候，我们要善于发现其中的不变量，抓住不变量进行分析。有的时候，可以先求出不变量，然后利用其作为中间条件进行解答；有的时候，则应以不变量作为单位“1”,转换题中的关键句，统一单位“1”然后再进行解答。当发现“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句而无法确定单位“1”时，我们可以先根据关键句转化出甲、乙两数之比来计算。,例1甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，甲植树的棵数是其余三人的,乙植树的棵数是其余三人,丙植树棵数是其余三人的丁植树多少棵?,[完全解题]题目中出现三次“其余三人”,但“其余三人”所包含对象的不同，因此，三个单位“1”是不同的，这就是我们所说的单位“1”不统一。我可以把四人的总植树棵数作为单位“1”,“甲植树棵数是其余三人的可以理解为甲植树棵数占1份，其余三:人占2份，那么甲植树棵数占总棵数的同理，乙植树棵数占总棵数的事事丙植树棵数占总棵数的为“总棵数”。这些过程就是所谓的转换单位“1”,使单位“1”统一那么,求丁植树多少棵，就是求60棵数的=13(棵)答：丁植树13棵。例2五(1)班原计划抽调的人参加“义务劳动”,临时又有两人主动参加，使实际参加“义务劳动”的人数是余下人数原计划抽调多少人参加“义务劳动”?[完全解题]=8(人)答：原计划抽调8人参加“义务劳动”。[技法点晴]题目中的是以全班人数为单位“1”,而“实际参加义务劳动的人数是余下人数的是以余下人数为单位“1”。根据这句话，你能知道实际参加义务劳动的人数占全班人数的几分之几吗?如果能够理解得出实际参加义务劳动的人数占全班人数的几分之几，这题就能够独立解决了。例3玩具厂三个车间共同做一批玩具。第一车间做了总数的,第二车间做了1600个，第三车间做的个数是一、二车间总和的一半，这批玩具一共有多少个?[完全解题]解法一：第三车间是一、二车间总和的一半，那么第三车间的个数是三个车间总数的=4200(个)答：这批玩具一共有4200个。加上第二车间I那么,我们可以理解为“第三车间做,又做了800个。”=4200(个)答：这批玩具一共有4200个。[技法点睛]“第三车间做的个数是一、二车间总和的一半”,这一句话可以用上面两种方法来转换单位“1”,从而明确统一的“1”后进行解答。例4五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18,这五个偶数的和是多少?[完全解题]五个连续偶数：A、B、C、D、E,中间一个数C是这五个数的平均数，也就是说“C是五个数之和的.还可以成“℃是A与民之.那么,“路三个数比]第一个数与第五个数的和的多18”,可转换为“第三个数比第三个数的两倍的多]18。”答：五个连续偶数的和是180。[技法点睛]如果我们以五个连续偶数的和作为单位“1”,那么第三个数占总和的几分之几，第一个数与第五个数的和占总和的几分之几?你能做出这道题吗?相等，甲组比乙组少多少与乙组人数的例5甲、乙两组共有54人，甲组人数的相等，甲组比乙组少多少与乙组人数的人?和乙组人数的相等。”这句话，我们可以改写成下面的等式：,:答：甲组比乙组少6人。[技法点睛]我们在解答分数应用题时，有时也会发现“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句。一般情况下，我们可以先根据关键句转化出甲、乙两数之比来和Z的例6一个长方形的周长是130厘米。如果长增加宽减!,得到新的长方形的,周长不变。求原来长方形的长、宽各是多少厘米?那么,6=35(厘米)=30(厘米)答：原来长方形的长是35厘米，宽是30厘米。例7学校图书馆原有文艺书和科技书共5400本，其中科技书比文艺书少,最近又买来一批科技书，这时科技书和文艺书本数的比是9:10。图书馆买来科技书多少本?[完全解题]根据题意，题目中的科技书的本数在变化，而文艺书的本数是不变量。我们可以先求出文艺书本数：=3000(本)根据“这时科技书和文艺书本数的比是9:10”,我们以“文艺书3000本”为条件求出现在科技书的本数。3000÷10×9=2700(本)最后用现在科技书2700本减去原来科技书本数，求出原来科技书多少本?答：图书馆买来科技书300本。[技法点睛]在一些分数应用题当中，会出现一些变化量，造成题目中单位“1”的量无法确定，为解题增加了难度。这种情况，我们要善于发现其中的不变量，抓住不变量进行分析。有的时候，可以先求出不变量，然后利用其作为中间条件进行解答。例8甲、乙两人原来的钱数的比是3:4,后来甲给乙50元，这时甲的钱数是乙的。甲、乙两人原来各有多少元钱?[完全解题]根据题意：原来甲的钱数是乙,甲给乙50元后，甲的钱数是乙的,乙钱数和”这个不变量，把它作为单位“1”,那么“甲、乙原来钱数的比是3:4”,转化为“甲原来的钱数占两人总钱数的.“这时甲的战数是Z.可转化为“现在甲的钱数占两人钱数总和的在的钱少50元。那么,。根据题目所说“甲给乙50元”,可知甲原来的钱比现答：甲原来有225元，乙原来有300元。[技法点睛]在一些分数应用题当中，会出现一些变化量，造成题目中单位“1”的量无法确定，这种情况下，我们可以以不变量作为单位“1”,转换题中的关键句，统一单位“1”然后再进行解答。想一想：如果以乙现在的钱比原来多50元，找出对应分率来解答，你会列式吗?例9两种商品的价格比是7:3,如果它们的价格都上涨70元，那么他们的价格比是7:4。甲商品原来的价格是多少元?[完全解题]两种商品的价格都上涨70元，发生了变化，而且它们的总价格也变化了。但是我们可以发现，由于两种商品涨价幅度相同，所以涨价后两种商品的价格差不变。我们可以把价格差这个不变量作为单位“1”。那么,“甲、乙两种商品的价格比是7:3”,转化为“原来甲的价格相当于价格差的,“em价格之比是7:4“转化为“现在甲的价格相当于价格差的=120(元)答：甲商品原来的价格是210元。[技法点睛]抓住不变的量作为单位“1”,这样题目中就有了统一的单位“1”,就能够顺利地分析解答问题啦!例10一个最简分数的分子、分母之和为49,分子加上4,分母减去4后，得到新的分数可以约简为,求原来的分数。[完全解题]根据题意，分子、分母之和不变，现在新分数分子、分，母的和也是49,,原二、填空题。(每题5分，共20分)1.某图书馆有科技书和文艺书共630本，其中科技书占这时科技书占总数的又买来科技书本。2.有一堆糖果，其中奶糖占,再放入16块水果糖后，奶糖就只占。那么这堆糖果中奶糖块。3.一堆煤，已烧的吨数和未烧的吨数比是1:5,如果再烧120吨，已烧的吨数是未。4.甲、乙两个书架，甲书架存书的相当于乙书架存书的甲书架比乙书架多存书120本，两个书架共有存书本。三、解答题。(每题20分，共60分)1.某校男生人数比女生人数的多50人，男生人数的相当于女生人数的2倍。该校男、女生各有多少人?2.三个分数的和第一个数是第二个数的第二数个是第三个数的分数各是多少?3.甲、乙两个书架共有书102本，从甲书架拿出24本放入乙书架，则乙书架本数的正好是甲书架的乙书架原有多少本书?第三节逆推问题及其解法探究目标1.正确理解逆向思维的应用题，学会反向思考。2.掌握解方程法、倒推法和表格法解决逆推问题。探究过程参与一下”做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!逆推也就是我们常说的倒推。我们在分析问题时带需要反向思考。在解答分数应用题时，也经常出现这种需用逆向思维解决的应用题。一般情况下比较简单的可采用方程解，特殊情况下，我们采用逆推法反而比较容易解答，有些还可以借助表格进行逆推。例1甲、乙各存款若干元，甲拿了存款的给乙后，乙再拿出现有存款的给甲，这时他们各有180元。他们原来各有存款多少元?[完全解题](见下表中箭头所示甲乙甲、乙的和现在甲、乙都是180元，和是360元。那么乙拿出后是180元，乙拿出之前有存款：这时甲有存款360-240=120(元),即甲拿出后剩下120元，那么甲拿出之前(即甲原有存款)存款为：360—150=210(元)答：甲原有存款150元，乙原有存款210元。[技法点晴]这道题利用了表格来进行推断，步骤比较清析。今后在解决类似问题时，大家可以借用表格来理清自己的思路。以后8天，分别偷了,当天现有桃子。偷了9天，树上只剩下10个桃子。树上原有桃子多,少个?[完全解题]采用逆推法，根据第九天剩下10个桃子，可求出第八天后剩下的如此类推，可分别求出第七天后，第六天后，……,第一天后以及原来的桃子个数：答：树上原有桃子100个。[技法点睛]想一想：设原有桃子x个，你会列方程解答吗?例3一堆西瓜，第一次卖出总数的,第二次卖出余下的,第三次又卖出余下的,还剩2个，这堆西瓜共有多少个?[完全解题]根据第三次卖出余下的,还剩2个，可求出第二次卖出余下的个数：(如下图)根据第二次卖出余下自又2个，还剩8个(上面所求的),可以求出第一次余下的个数：(如下图)根据第一次卖出总数又4个，还剩20个(上一步所求出的),可以求出原有西瓜的个数：(如下图)答：这堆西瓜共有32个。[技法点晴]本题是用典型的倒推法来解答的，在分步倒推时借助线段图帮助理解，这样能够降低思维难度。想一想：如果这题用方程解，你能做出来吗?比一比，哪种方法更好?还剩下88页。这本书共有多少页?[完全解题]根据题意，这本书的总页数为单位“1”,我们可以设这本书共有x页。那么第一天看的页数为第二天看的页数为根据“第一天看的页数+第二天看的页数+剩下的88页=这本书总页数”来列方程：答：这本书共有144页。[技法点睛]我们在解答应用题的时候，经常会遇到逆解的题目，我们可以选择用方程解答，对分数应用题也不例外。在列方程解分数应用题时，我们应当注意以下两点：其一，我们一般设单位“1”为x;其二，找准等量关系式来列方程。例5某校五年级共有学生152人，选出男生的和5名女生参加科技小组，剩下的男、女生人数刚好相等。五年级男、女生各有多少人?[完全解题]如下图：由于题目中男生人数是单位“1”,那么可以设男生人数为x人，那么女生人数为(152根据“剩下男、女生人数相等”,我们可以列方程来解答：答：五年级男生有77人，女生有75人。[技法点睛]根据剩下的男、女生人数相等，我们可以推出，原来女生人数相当于男生那么,如果男生有x人，则女生人数为根据“男生人数+女生人数-=152,”你能列方程解答吗?例6甲、乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数比乙班参加人数的少2人。甲、乙两班各有多少人参加科技小组活动?[完全解题]题目中存在甲、乙两班人数两个单位“1”,我们假设其中一个班的人数班人数的为x,另一个班的人数可以用(62-x)表示，并且根据“乙班人数的班人数的设甲班有x人参加科技小组活动，乙班有(62-x)人参加科技小组活动。62-30=32(人)答：甲班有30人参加科技小组活动，乙班有32人参加科技小组活动.创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.小英三天看完一本故事书，第一天看了全书的还少4页，第二天看了全书剩下的还多14页，第三天看了90页。这本故事书共有()页。,3.甲、乙两人各有钱若干，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花：后，又如果这时甲给乙7元钱，甲、乙两人的钱数正好相等。甲原来有()元钱。4.某工厂有工人135人，其中男工人数与女工人数的之和为98人，男工有()二、填空题。(每题5分，共20分)1.甲、乙两堆煤共有44吨，从甲堆运走它的乙堆运来10吨后，两堆现在一样重，2.某个商店买进两筐苹果共200千克，如果从第一筐中取出放到第二筐中，然后再从第二筐中取出放入第一筐中，这时两筐一样重，原来第一筐苹果重千克。3.甲、乙两人原有钱的比是3:4,后来甲又给乙50元，这时甲的钱数是乙的,原4.甲、乙两堆煤共140吨，当甲堆运乙堆运走10吨时，甲、乙两堆煤的吨数,比是6:5,原来甲堆煤有千克。三、解答题。(每题20分，共60分)1.小贩把他所有的西瓜的又半个卖给第一位顾客，把余下西瓜的又半个卖给第二位顾客，这样，他把所余西瓜的又半个卖给了以后的各位顾客，卖给第七个人以后，正好全部卖完，小贩原有西瓜多少个?2.有A、B、C、D、E五筐苹果，各筐苹果的数量不等，如果把B筐苹果的一半搬入最后五筐苹果都是30千克，每筐苹果原来各有多少千克?3.(《小学生数学报》江苏省首届小学生探索与应用能力竞赛决赛试题)如图1,线段将一张正方形纸分成面积相等的两部分。这张正方形纸对折后，得到图2;将图案沿对称轴对折，得到图3。已知图3所覆盖桌面的面积占长方形纸面积的,阴影部分面积为6平方厘米。长方形的面积是多少平方厘米?第四节工程问题基本类型探究目标理清工程问题的解题思路，掌握工程问题的特点，会根据基本数量关系式正确解答。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!工程应用题属于分数应用题中的一种类型，它是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。在工程问题中，常常把工作总量看作单位“1”,工作效率则用每天完成工作总量的几分之几来表示。例如，一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需25天完成。根据条件，我们可以把这项工程看作单位“1”,甲单独做需20天完成，那么甲的工作效率就是每天完成这项工程的,同理，乙的工作效率就是工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率比如上例中，求甲、乙合做两天完成几分之几?求甲、乙合做几天可以完成?工程问题中讲述的某项工程一般都未给出具体的数量，首先在解题时关键要把一项工程看作单位“1”,工作效率就用完成单位“1”所需工作时间的倒数来表示，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。例1一条公路，甲独修需24天完成，乙独修需30天完成。甲、乙两队先合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成。乙队修了多少天?[完全解题]要求乙队修了多少天，实际上就是要求甲作总量÷工作效率=工作时间”来解答。这里的工作量应是单位“1”减去后来甲6天的工甲、乙两队先合修若干天的工作量：甲、乙合修的天数，即乙队修的天数：答：乙队修了10天。[技法点晴]我们也可以根据“甲、乙合修的工作量十甲队修6天的工作量=1”用方设乙队修了x天。例2修一条公路，甲队单独修20天可以完成，乙队单独修30天可以完成。现在两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天?[完全解题]我们把这条公路看作单位“1”,可以分成两部分：一部分由甲队修，另一部分由乙队修。根据题意，甲队休息2.5天，说明甲队修了14-2.5—11.5(天),可以先求出甲队11.5天修了这条公路的几分之几：剩下的就是乙队修这条公路的几分之几：最后，我们根据“工作总量÷工作效率=工作时间”可以求出乙队实际修的天数，也就求出乙队休息的天数：答：乙队休息[技法点睛]想一想：这题也可以用列方程来解答，你会做吗?试一试。例3运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B,甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时?[完全解题]我们可以先不考虑具体是怎样搬运的，可以先从总体上看，甲、乙、丙三人同时搬这两个仓库的货物，即两个单位“1”,那么,我们可以先求出甲、乙、丙搬完货=8(小时)根据题意，甲、乙、丙都搬运8小时，甲在A仓库搬运8小时，那么仓库货物中有一部分是甲搬8小时的工作量，另一部分则是丙帮助甲搬了几分之几：就可以求出丙帮助甲搬运的小时数：,,答：丙帮助甲搬运了3小时。例4一项工程，如果单独做，甲需10天完工，乙需15天完工，丙需20天完工。现在三人合做，中途甲先休息一天，乙再休息三天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天?[完全解题]根据“甲的工作量十乙的工作量十丙的工作量=1”我们可以用方程来解。设一共用了x天。答：这样一共用了6天。[技法点晴]我们也可以用假设的思路来解决这个问题。假设甲、乙的工作天数都是和丙工作的天数一样，那么,三人完成的工作量应该是：用完成的工作量除以效率和，就能求出一共用的天数：例5某市举办花展，新建了一个喷水池。单开甲水管一小时可将喷水池注满，单开乙水管40分钟可以将喷水池注满，两管同时开分钟后，注入水吨，喷水池能装水多少吨?[完全解题]这道题中包含工程问题和分数应用题两个方面的问题。要求能装水多少吨，必须先求出吨对应的分率是该水池的几分之几，这就应该运用工程问题的方法求出两水管齐开分钟注满水池的几分之几：管齐开已注喷水池的吨，可以求出喷水池能装水的吨数：已注喷水池的是答：喷水池能装水10吨。例6加工一批零件，甲独做需3天完成。乙独做需4天完成。两人同时加工，完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个?[完全解题]我们可以仿照例5,先求出甲比乙多做的24个占这批零件的几分之几：根据甲比乙多做了这批零件的;求出零件的总数：[技法点睛]根据题意，我们先求出甲、乙两人的工作效率比：甲、乙工效比为4:3.二人共同完成这批零件，那么两人的工作量之比为4:3,即这批零件共有7份，甲完成了其中的4份，乙完成其中的3份，可以得出，到完成任务时，甲做了这批零件的乙做了这批零件。那么,=168(个)创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.一条公路，甲独修需24天完成，乙独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成。甲队修了()天。2.两队挖一条水渠。甲独挖需8天完成，乙独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。乙队挖了()天。3.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。中途甲请假2天，乙请假若干天，从开工到完成工程共用了16天。乙请假()天。4.一项工程，甲、乙合做6天完成等。乙的工作效率是()。.所需的时间相A二、填空题。(每题5分，共20分)1.两列火车同时从两地相对开出。快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时，开出15小时后两车相遇。已知快车中途停留4小时，慢车中途停留小时。2.某工程队预计30天修完一条水渠，现有18人修12天后完成工程如果要提,前6天完工，还要再增加人。3.修一条公路，甲队独做要用40天，乙队单独做要用24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这条公路长米。4.轮船以相同的速度航行，从A城到B城需要3天，从B城到A城需要4天。小木筏从A城飘流到B城，需要天。三、解答题。(每题20分，共60分)1.加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工，完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个?2.加工一批零件，甲、乙合做2-1天可以完成。由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，这批零件共有多少个?3.两车同时从A、B两地出发，相向而行。经过4小时相遇后，甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行24千米。A、B两地全长多少千米?第五节工程问题典型题例探究目标1.体验一些典型的工程问题的探究过程，加深对互程问题的认识，抓住本质特点，总结出工程应用题的解题规律。2.引导探讨和工程问题相对应的综合性问题，渗透灵活应用工程问题的解题规律的意识，提高解答工程二奶题的能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!要学会运用常见的数学思想方法，如假设、转化、替换法等来帮助自己解题。比如说，有的题目中讲述的是两人合做，我们可以假设成独做的形式来解题，有时候甲做的工作可以替换成乙做。为了解题的方便，工作的先后顺序、工作方式可以改变，这种改变，不会影响问题的实质和解题的结果。有些稍复杂的分数应用题，如行程问题，其实质也是工程问题，我们要善于抓住问题的本质特征，把它们看做工程问题来解；有些稍复杂的应用题是包含行程问题、分数问题与工程问题的综合性题目，需要我们能认真分析，综合运用各种方法来进行解答，有时也可以借助比和比例的方法来帮助解答。例1甲、乙两队合做工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的两队单独完成工程各需要多少天?事[完全解题]题目中甲队单独做6天，乙队单独做4天，而各自的工作效率不知，无法解答，我们可以把他们俩独做变成合做，如右图：甲、乙两队合做4天，甲队再做2天，一共完成由于效率和已知，这样我们就可以先求出合作4天的工作量：那么甲队做2天的工作量为：答：甲队单独完成工程需60天，乙队单独完成工程需40天。例1一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全部工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是2:3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成?[完全解题]如下图，根据题意，我们可以得出甲工作(2+7)=9(天),乙工作7天一。根据甲、乙工效的比2:3,可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2,也可以理解成完成同样的工作量，乙所用的时间相当于甲的那么题目中甲9天的工作量可以替换乙工作的天数为：这样，当完成工程的一半时，就可以看成乙用7+6=13(天)一共做的，完成工程的一半要用13天，那么乙完成这项工程的天数也就能求出来了。13×2=26(天)答：需要26天才能完成。[技法点睛]想一想：根据完成同样的工作量。乙所用的时间相当于甲的乙做7天的工作量替换成甲工作，你利用这种思路再独立解答一下。例3一项工程，甲独做需12小时完成，乙独做需15小时完成，丙独做需18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由丙接替乙工作1小时，再由甲接替丙工作1小时……三人这样交替工作，那么完成这项工程，一共需用多少小时?[完全解题]甲、乙、丙轮流工作1小时，也就是3小时，我们可以看做一个循环，先看看完成这项工程大约需几次循环：可以得出，完成这项工程需4个多循环，我们可以先求出4个循环的工作量，剩下的工剩下的甲先工作1小时，还剩下：乙再工作1小时，还剩下：剩下的丙再完成，还需的时间为：因此，完成这项工程的总时间可以理解为4个循环，每个循环3小对，再加上2.5小时：4×3+1+1+0.5=14.5(小时)例4一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入的水量是例定的。打开甲管，8小时可以将满池水放空，打开丙管，12小时可将满池水放空。如果打开甲、乙两根水管，4小时可以将水放空。如果打开乙、丙两根水管，要几小时方能把满池水放空?水量为a,那么甲管每小时排水量为：,两管每小时排水量为：其中“a”可以把每小时渗水量排出，即几小时渗入的水和几小时排出的水正好相等。因此，只要求单位“1”里有几个即可求出几小时把水排答：要4詈小时方能把满池水放空。例5客车从甲站开往乙站需要8小时，货车从乙站开往甲站需要12小时一两鳞车同时从两站相对开出，据中心点39千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米?[完全解题]这道题是有关行程方面的问题，但它实际上需用工程问题的方法来解答。=390(千米)答：甲、乙两站相距390千米。[技法点睛]本题也可以用两车速度比的方法来解答，你自己试一试。例6两枝粗细、长短都不同的蜡烛，长的一枝可以点4小时，短的可以点6小时，将几分之几?作单位“1”,每小时各自燃烧自己的、那么两小时后，长蜡烛剩下自己的,短蜡,由此，根据两枝蜡烛所余下的长度正好相等得出：那么长蜡烛和短蜡烛之比：答：原来短蜡烛的长度是长蜡烛的a创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.一项工程，两队合做每天能完成全部工程的甲队单独做3天，乙队再单独做5天后，可以完成全部工程的如果全改成乙队独做，()天可以完成。2.某项工程由甲先单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果两人合做，需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要()天。3.一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲队做了()天。4.一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两站相对开出，经过6小时相遇。相遇后两车以原速度继续前进，客车又用4小时才到达乙地。货车还要行()小时才能到达甲地。二、填空题。(每题5分，共20分)1.一项工作，如果单独做，甲按规定时间可提前2天完成，乙要超过规定时间3天才能完成。现在合做2天后，剩下的由乙继续单独做，刚好在规定的时间完成。若合做，完成这项工程需要天。2.甲、乙两队合做一项工程，20天可以完成。现在甲队做6天，乙队做8天后，完成这项工程的两队单独做完全工程各需要天。3.一项工程，甲独做需12小时，乙独做需18小时，如果甲先做1小时，然后乙再做1小时，再由甲接替做1小时……两人如此交替工作，完成任务时共用小时。4.一项工程，由甲队单独做6天可以完成。甲队3天的工作量，乙队要4天完成。两队合做了2天后由乙队独做，乙队还需天才能完成。三、解答题。(每题20分，共60分),1.甲、乙、丙合修一段围墙。甲、乙合修6天修好围墙的,乙、丙合修2天修好余,下的剩下的三人又合修5天才完工。共得到报酬180元，按个人完成的工作量的多少来合理分配，每人应得多少元?2.蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序，轮流各开1小时，多少时间后水开始溢出水池?3.(第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学组复赛试题)甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。已知甲比乙早到30秒，A地到B地路程是多少千米?本章测试卷(满分100分)一、填空题。(每题4分，共24分),倍，甲数是丙数的:2.某班男生人数的等于女生人数的,男生人数占全班人数的3.一个长方形的长减要使它的面积不变，宽应增加5.把一个正方形的一边减,另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来正方形面积相等。原来正方形面积是6.有甲、乙两桶水，把甲中的倒入乙后，这时两桶的重量之比是1:2,那么原来两桶水重量之比是二、选择题。(每题4分，共16分)1.一件大衣如卖140元，可赚40%,如卖120元，可赚()。2.一水池有3根进水管，要灌满一池水，单开A管需5小时，单开B管需6小时，单开C管需10小时。现在空池，按A、B、C、A……的顺序各打开1小时注水。水池注满3.甲、乙两车从A、B两地相向而行，4小时后相遇，继续前进，甲车又用3小时到4.某人上班时步行，回家时乘车，在路上一共用1.5小时，如果上、下班全部乘车，全程只需0.5小时，如果上、下班都步行，全程需()小时。三、解答题。(每题12分，共60分)1.一批零件，师傅单独做，13天可完成，现在由师徒合做完成，徒弟每天加工25个，2.一项工程，由甲、乙合做12天可以完成。现在由甲、乙合做4天后，余下的先由甲独做10天，再由乙独做5天，正好完成这项工程。求甲、乙单独做各需多少天才能完成?3.甲、乙两人原有钱的比是3:4,后来甲给乙60元，这时甲的钱是乙的求甲、.乙原来共有多少钱?4.甲、乙两个容器共有药水2000克，从甲中取出,从乙中取出结果两个容器共剩下1400克药水，两容器原来各有药水多少克?5.有甲、乙、丙、丁四桶酒，现将乙中的并入甲，再把丙中的并入乙，把丁中的并入丙，这时四桶中的酒都是30升，求每桶原来各装酒多少升?第三章比有这样一个故事，有一位老人要把17只羊分给他的三个儿子，大儿子分得总数的一半，二儿子分得总数的小儿子分得总数的该怎样分呢?如果按照我们所学的分数应用。题的方法，将会出现只的情况。于是聪明的老人借来一只羊，这样总数是18总数：9+6+2=17(只)老人又把多出的1只还给了人家。这是古代有名的算术题。其实现在我们可以用比的方法加以解决。三个儿子分得羊的只数比为：因此大儿子分得9份，二儿子分得6份，小儿子分得2份，一共是9+6+2=17(份),共17只羊，所以每份为17÷17=1(只)。大儿子分得9×1=9(只),二儿子分得6×1=6(只),小儿子分得2×1=2(只)。本章就是利用这种比的意义及按比例分配的方法解决生活中的实际问题。在解题过程中，要能积极动脑，找准题中各数量的比，求出各部分量占总数的几分之几。只要善于观察和实践，你将有新的收获。第一节比的意义和性质探究目标1.掌握比的意义和比的基本性质，知道比同除法、分数之间的关系。2.能灵活运用比的意义及比的基本性质解决生活中的实际问题。3.提高学生的分析、综合、概括的能力。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!例一个容器内已注满水。现有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的第三次是第一次的2.5倍。求三个球建议：1.找出三个球的体积，根据各自的体积写出三个球的体积比。2.分清每次溢出的水的体积与球的体积之间的关系。3.写出的比要化成最简单的整数比。讨论：1.设小球的体积为1份，这样就可以根据第二次、第三次溢出的水的情况分别得出中球和大球的体积。2.第二次溢出的水是小球的3倍，在溢出水之前，容器中的水空了1份，所以中球的体积是3+1=4(份)。同样，第三次的大球和小球也如此。证明：设小球的体积为1份，第一次把小球沉入水中，容器将溢出1份的水。第一次溢出的水是第二次的,所以第二次溢出的水是3份。第二次是把小球取出，把中球沉入水中的，所以中球的体积是3+1=4(份)。第三次溢出的水是第一次的2.5倍，所以第三次溢出的是2.5份，第三次是取出中球，把小球和大球一起沉入水中的，那么小球和大球的体积一共是2.5+4=6.5(份),大球的体积就是6.5-1=5.5(份)。所以，大、中、小三个球的体积比是：5.5:4:1=112822。例1两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶子中酒精与水的体积比是3:1,而另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合，求混合液中酒精与水的体积之比是多少?[完全解题]求混合液中酒精与水的体积之比是多少，只要求混合液中酒精与水分别是多少即可。因为两个瓶子相同，所以设每瓶中酒精溶液为1,则一个瓶子中的酒精占水占;另一个瓶子中酒精,水占。两瓶酒精溶液混合后，酒精,水为所以混合液中酒精与水的体积之比为：:答：混合液中酒精与水的体积之比是31:9。[技法点睛]本题必须将两个瓶子中的酒精溶液的数量看作相等才能进行解答。解题时，不能将一个瓶子的酒精看作3,水看作“1”,另一个瓶子的酒精看作4,水看作“1”。例2小军行走的路程比小红,而小红行走的时间却比小军多,求小军与小红的速度比。[完全解题]小军行走的路程比小红多即小红走的路程是4份，小军所走路程为1+4=5(份);小红所用的时间比小军多即小军所用的时间为10份，小红所用的时间为10+1=11(份)。而路程除以时间即为速度，可先求出两人的速度，所以小军和小红的速度:答：小军与小红的速度比为11:8。[技法点睛]这是一道复比的题目，先要分别求出小军和小红的速度，再求出他们的速度比。为使解题方便，可以将比转化成份数解答。例3甲、乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽之比是3:2,乙的长与宽之比是7:5,求甲与乙的面积之比。[完全解题]甲、乙两个长方形的周长相等，设每个长方形的周长为2。甲长方形的长..;乙长方形的长为,宽为根据长与宽即求出两个长方形的面积，所以甲与乙的面积之比为：::答：甲与乙的面积之比为864:875。[技法点睛]与例1相类似，本题必须在两个长方形周长相等的前提下才能解答，所以先假设了两个长方形的周长都是2。例4有甲、乙、丙三只水杯和一只空水桶，用甲杯向桶内舀水30次后，桶内水的体积占水桶容量再用丙杯向桶内舀30次，恰好使水桶装满。问甲、乙、丙三只水杯的容积之比是多少?;[完全解题]设水桶的容量为1,甲杯30次的容量占水桶容量,所以甲杯的容量乙杯舀10次后，水桶余下的容量缩小了乙杯舀10次后，水桶余下的容量缩小了乙杯的容量是乙、丙三只水杯的容积之比是：答：甲、乙、丙三只水杯的容积之比是4:9:3。[技法点睛]本题的基本思路是，设一个标准量为“1”,再根据每次舀水的情况算出每只水杯的体积，这种解决问题的思路，在比中经常会用到。例5(2002·我爱数学少年夏令营)有一辆车子，其前轮周长为米，后轮周长为米，则前进多少米，才能使前轮转的圈数比后轮转的圈数多99圈?[完全解题]根据题意，前轮周长与后轮周长的比是:76。即前轮转76圈后轮转65圈，前轮比后轮多转了76—65=11(圈),要比后轮多转99圈，需要前进的[技法点睛]本题关键是找出前轮周长与后轮周长的比，得出相同时间内前轮比后轮多例6(2000·南京市数学冬令营)有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是6:5。如果将甲钉子钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度比是5:4,而它们留在墙外的部分一样长。问甲、乙、丙的长度比是多少?[完全解题]甲与乙的长度之比是6:5,可以设甲的长度是6,乙的长度就是5,甲钉子的钉入墙内，那么墙内部分长是墙外部分是6-4=2。甲与丙钉入墙内的长度比是5:4,丙钉入墙内的长度是以丙钉子的长度是2+3.2=5.2。而它们留在墙外的部分与甲一样长，所甲、乙、丙的长度比是6:5:5.2=30225:26。[技法点睛]本题关键是先求出丙钉子的长度，为了便于考虑，可以将两个数量的比，例7(2003·小学数学奥林匹克决赛)袋子里红球与白球数量之比是19:13。放入若干个红球后，红球与白球数量之比是5:3;再放入若干个白球后，红球与白球数量之比是13:11。已知放入的红球比白球少80个，那么原先袋子里共有多少个球?[完全解题]放入红球后，白球的数量不变19:13=57:39,5:3:65:39。设原来有红球57x个，白球39x个，则第一次放入了(65—57)x=8x个红球。因为13:11=65:55,所以第二次放入了(55—39)x=16x个白球。已知放入的红球比白球少80个，则原先袋子中共有球(39+57)×10=960(个)。[技法点睛]本题主要是将两个比分别扩大一定的倍数，然后根据相同的份数，找出对应关系。创新训练检测一下自己的能耐吧，你一定很棒!一、选择题。(每题5分，共20分)1.在一种盐水中，盐占盐与水的比为()。2.青菜和芹菜的单价比是3:7,而质量之比是5:4,那么它们的总价比是()。3.甲、乙两人赛跑，甲跑的路程比乙,乙用的时间比甲,两人的速度比是()。4.一个长方形与一个正方形的周长比是6:5,长方形的长是宽倍，长方形与正方形的面积比是()。二、填空题。(每题5分，共20分)1.把100克纯酒精装在一个玻璃瓶中，正好装满。用去10克后，加满蒸馏水，又用去10克后，再加满蒸馏水。这时瓶里蒸馏水与酒精之比是2.两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积相当于小长方形面积的这两个长方形的面积比是3.参加课外活动的男生人数的与女生人数的恰好相等，男生和女生人数的比4.有一个长方形与正方形的周长相等，长方形的宽是长的长方形面积与正方形面 三、解答题。(每题20分，共60分)1.(2003·河北省香河县小学六年级数学竞赛)有甲、乙、丙三个长方体，它们的长之比是2:2:3,宽之比是3:5:6,高之比是6:2:5。如果丙的体积是90立方厘米，那么,甲、乙两个长方体的体积之和是多少立方厘米?2.(2002·重庆市沙坪坝区小学数学竞赛)三个容积相同的瓶子装满酒精溶液，酒精与水的比分别是3:2,3:1,4:1。当把三瓶酒精混合时，酒精与水之比是多少?3.(2001·江苏省吴江市小学数学竞赛)甲、乙两个水果店梨的千克数之比是5:4,甲店卖出45千克，乙店运进45千克。那么这两店梨的千克数之比为5:7,甲店原有多少?第二节按比例分配探究目标1.掌握用按比例分配的方法解决有关比的应用题。2.能灵活掌握应用题中有关变量与不变量的关系，并能解决这类问题，初步形成辩证唯物主义思想。探究过程参与一下“做数学”的过程，乐趣尽在其中哦!例某校六年级三个班人数如下表：(1)班(2)班(3)班45人50人48人现有429棵树苗，如果按照各班人数进行分配，每个班级各应分得多少棵?建议：1.要仔细观察表格，找出三个班级人数之间的关系。2.运用按比例分配的思想，找出每个班分得的树苗各应该占总数的几分之几。讨论：方法1:可以根据表中三个班的人数，求出人数比，再根据人数比按比例分配。方法2:可以根据表中三个班的人数，先求出1个人应分得的树苗，再算出一个班应分得的树苗。证明：(1)(2)(3)三个班人数的比是45:50:48,总份数为45+50+48=143,(1)班分得的树苗占总数的;(2)班分得的树苗占总数的;(3)班分得的树苗占总数的(1)班分得的树苗是(2)班分得的树苗是(3)班分得的树苗是例1一个长方体的棱长总和是216厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2。长方体的表面积和体积各是多少?[完全解题]长方体的棱长可按长、宽、高分成三类，所以长、宽、高的和是216÷4—54(厘米),根据长、宽、高的比是4:3:2可知长方体的长是00=1872(平方厘米)24×18×12=5184(立方厘米)答：长方体的表面积和体积分别是1872平方厘米和5184立方厘米。[技法点睛]本题将长方体按长、宽、高分类时，一定要注意用216÷4,因为这是长方体12条棱的总长。例2育英小学六年级学生分三批去参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5:4,第二批与第三批的比是3:2,已知第一批比第二、三批人数的总和少15人。求六年级参观的有多少人?[完全解题]第一批和第二批人数的比是5:4,即(5×3):(4×3)=15:12。第二批和第三批人数比是3:2,即(3×4):(2×4)=12:8。由此可知，第一批、第二批、第三批的人数比是15:12:8。第一批占总人数的第二批、第三批的人数和占总人数的第一批比第二批、三批人数总和少总数|,正好少15人，所以六年级参观的人数是：答：六年级参观的有105人。[技法点睛]这是一道连比的实际应用题，要能根据其中一个中间量(第二批)找出这三批参观人数的比。例3小明读一本故事书，已读的页数和未读的页数之比是1:5,如果再读30页，则已读的和未读的页数比是3:5,这本书一共有多少页?[完全解题]一本书，已读的页数和未读的页数之比是1:5,可知已读的页数占总页数的如果再读30页，则已读的页数占总页数的,比原来多了总页数的正好是30页，所以这本书的总页数是：答：这本书一共有144页。[技法点睛]由于读的页数在变化，已读的页数与未读的页数在不断变化，但是全书总页数不会变化，所以，本题关键是确定总页数为单位“1”。例4甲、乙两桶油共130千克，从甲桶倒出给乙桶后，甲桶与乙桶油的比为7:6,原来甲、乙两桶分别有油多少千克?[完全解题]从甲桶倒出给乙桶后，甲、乙两桶油仍然共是130千克，这时甲、乙两桶油的比是7:6,所以，这时甲桶油为甲桶这时的油相当于原来油的所以甲桶原有的油为：故,130-98=32(千克)答：原来甲、乙两桶分别有油98千克、32千克。[技法点睛]因为是从甲桶倒入乙桶，所以两桶油得总量不变，可以倒过来，先求出两桶油得数量比是7:6时甲桶油得重量，再求出原来两桶油各是多少。例5某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14:11,会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男会员与女会员人数之比是甲：12:13、乙：5:3、丙：2:1,那么丙组有多少名男会员?[完全解题]因为甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，所以甲组人数为100÷2=50(人),根据题意可知：全体男会员人数是：乙、丙两组男会员人数是：56-24=32乙组男会员占全组人数的丙组男会员占全组人数的如果丙组男会员也是则两组男会员应是,比两组男会员实际人数少,因为丙组男会员比原来少,所以丙组总人数为：丙组男会员人数则为：答：丙组有12名男会员。[技法点睛]本题条件比较多，可以先理清思路，再逐层求出相应的条件。例6一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1:2:3。某人走这三段路所用的时间比依次是4:5:6。已知他上坡速度是每小时3千米，路程全长是50千米，问此人走完全程用了多少小时?[完全解题]路程全长是50千米，上坡、平路、下坡各段路程长的比依次是1:2:3,由此可知，上坡的路程是(千米),由他上坡每小时行3千米可知，他上坡用的时间是(小时),而上坡用的时间占总时间的,所以此人走完全程用的时间为：[技法点睛]本题的关键先求出上坡的路程，再根据上坡的速度求出上坡所需的时间。例7(2001·“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.8元(包括4吨)。当超过4吨时，超过部分每吨3元。某月甲、乙两户共交水费26.4元，用水量之比是5:3,甲、乙两户各应交水费多少元?[完全解题]如果两户居民用水均不超过4吨，则最多交水费1.8×8=14.4(元),而实际交水费是26.4元，超过部分的水费是26.4-14.4=12(元),即超过的水量是12÷3=4(吨),那么两户的用水量一共是4+4+4=12(吨)。甲户应交的水费是4×1.8+(7.5-4)×3=17.7(元)乙户应交的水费是26.4-17.7=8.7(元)答：甲户应交水费17.7元，乙户应交水费8.7元。再用按比例分配的方式分别求出每户的用水量。例8(2000·小学生数学报集训题)甲、乙两仓共存粮240吨，其中甲仓存粮|仓存粮的相等。甲、乙两仓各存粮多少吨?相等，可以列出,乙仓存粮是240-90=150(吨)。答：甲仓存粮90破，乙仓存粮