湖北省荆州市南口镇中学高一数学理月考试题含解析

湖北省荆州市南口镇中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合,，则A∩B=

A．

B．

C．

D．参考答案：Ａ2.已知，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：，故选D.考点：集合的基本运算.3.若点在函数的图象上,则的值为(

)

A．0

B.C．1

D．参考答案：D4.一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为(

)．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C略5.下列每组函数是同一函数的是（） A．B． C．D．参考答案：B【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】计算题． 【分析】观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域不同则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同． 【解答】解：A选项中，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数； B选项中两个函数的定义域相同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，，两个函数的对应法则相同，是同一函数； C选项中两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g（x）的定义域是R；故不是同一函数； D选项的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g（x）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数； 只有B选项符合同一函数的要求， 故选B． 【点评】本题考查判断两个函数是否是同一个函数，考查根式的定义域，主要考查函数的三要素，即定义域，对应法则和值域． 6.角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.点是三角形的重心，是的中点，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知n次多项式f（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，用秦九韶算法求当x=x0时f（x0）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A．n，nB．2n，nC．，nD．n+1，n+1参考答案：A考点：秦九韶算法．

专题：规律型．分析：求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an﹣1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an﹣2，v3=v2x+an﹣3…vn=vn﹣1x+a1这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．解答：解：f（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0=（anxn﹣1+an﹣1xn﹣2+…+a1）x+a0=（（anxn﹣2+an﹣1xn﹣3+…+a2）x+a1）x+a0=…=（…（（anx+an﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an﹣1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an﹣2，v3=v2x+an﹣3…vn=vn﹣1x+a1这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法故选A．点评：秦九韶算法对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法．9.（1）计算． （2）．参考答案：见解析．（）．综上所述，结论是：．（）原式．10.的内角所对的边满足，且C=60°，则的值为 A．

B．

C．1

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线过点，则其斜率为．参考答案：12.如图，正方体，为直线上一动点，则下列四个命题：①三棱锥的体积为定值；②直线与平面所成角的大小为定值；③二面角的大小为定值；④异面直线与所成角的大小为定值.其中真命题的编号是

.（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④略13.函数的定义域是． 参考答案：{x|x≥﹣2且x≠1}【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题． 【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示． 【解答】解：由题意，要使函数有意义，则， 解得，x≠1且x≥﹣2； 故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}， 故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}． 【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方． 14.设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是

。参考答案：解析：根据题意，设两个相异的实根为，且，则，。于是有，也即有。故有，即取值范围为15..如图，为了测量树木AB的高度，在C处测得树顶A的仰角为60°，在D处测得树顶A的仰角为30°，若米，则树高为______米.参考答案：【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.16.将cos150°,sin470°,cos760°按从小到大排列为______________.参考答案：cos150°<cos760°<sin470°略17.函数的最小正周期为________．参考答案：π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合.（1）判断是否属于M；（2）判断是否属于M；（3）若，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）由题意，f(x)f(1)=，f(x+1)=∵无解，∴f(x)M

……………3分（2）∵f(x)f(1)=(2x+x2)(21+12)=3(2x+x2),f(x+1)=2x+1+(x+1)2令3(2x+x2)=2x+1+(x+1)2即2x+2x2-2x-1=0……（*）

……………6分法一：当x0=0时，满足（*）∴f(x)M

……………7分法二：令g(x)=2x+2x2-2x-1∵∴存在，满足∴f(x)M

……………7分（3）∵所以方程有解即整理得，222x+（4a+2）2x+a2=0令t=2x(t>0)∴2t2+（4a+2）t+a2=0有正根

……………9分令h(t)=2t2+（4a+2）t+a2∵h(0)≥0∴解得所以的取值范围是

……………12分19.(本题12分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合

计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．参考答案：(1)①②位置的数据分别为50-8-15-10-5=12、1-0.16-1.24-0.20-0.10=0.3；

4分(2)第三、四、五组总人数之比为15:10:5，所以抽取的人数之比为3:2:1，即抽取参加考核人数分别为3、2、1；8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．12分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．14分20.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．参考答案：【分析】（Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由VB﹣AEC=VE﹣ABC，且=，能求出点E到平面ABCD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，∴SA⊥AD，又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴SA⊥BD，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=2CD=1，AB=2，∴tan∠ABD=tan∠CAD=，又∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，∵AF?平面SAC，∴BD⊥AF．解：（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，∵VB﹣AEC=VE﹣ABC，且=，∴===，解得h=，∴点E到平面ABCD的距离为．21.已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出的坐标，结合已知列式求解；（2）由+2与2﹣垂直，可得+2与2﹣的数量积为0，代入数量积公式求解．【解答】解：（1）设，由∥，||=2，得，解得或．∴或；（2）∵+2与2﹣垂直，∴（+2）?（2﹣）=0，即，∴．则，∴cosθ=﹣1，∵θ∈[0，π]，∴θ=π．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的坐标表示，是基础的计算题．22.（本题满分14分）.设数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．参考答案：（14分）.解：当时，．

…1分

当时，

．

……3分

∵不适合上式,

∴

…4分

（2）证明:∵．

当时，

当时，,

①．

②①－②得: