福建省南平市卫闽中学高三数学文模拟试卷含解析

福建省南平市卫闽中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的函数满足则的值为A．

B．2

C．

D．4参考答案：D略2.椭圆的距离是

（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：B3.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C设抛物线的焦点与双曲线的右焦点及点的坐标分别为,故由题设可得在切点处的斜率为,则,即,故,依据共线可得,所以,故应选C．4.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．5.将包含甲、乙两队的8支球队平均分成两个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有A.20种

B.

35种

C.40种

D.60种参考答案：C略6.若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：D8.已知函数满足,当时,,若在区间内,曲线与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设F1，F2是椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于6列式求b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，则6=8﹣b2，解得b=，则椭圆的离心率e===，故选B．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．10.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(

)A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】如图：设，以为圆心的扇形面积是，的面积是，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则不等式<0的解集为

。参考答案：

12.已知函数的定义域为R，值域为[0，1]，对任意的x都有成立，当的零点的个数为

。参考答案：913.已知，则有，且当时等号成立，利用此结论，可求函数，的最小值为

参考答案：

14.已知复数（为虚数单位），复数，则一个以为根的实系数一元二次方程是________.

参考答案：15.已知函数，则的最小正周期为

；

．参考答案：（1）

（2）2+

16.设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为

．参考答案：17.若等差数列{an}的前5项和=25，且，则

.参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，求证：∥面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．参考答案：

即不妨设，则有，所以．因为，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量．19.如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，，求的长.

参考答案：

是圆的直径且，

，

连，为圆的切线，，记是圆的交点，连，

，

，20.如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：xA=，yA=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．xA===．yA==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an2+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，得到关于首项和公比的方程组，根据{an}是各项均为正数求出方程组的解，即可得到首项和公比的值，根据首项与公比写出等比数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通项公式代入bn=an2+log2an中，化简得到数列{bn}的通项公式，列举出数列{bn}的各项，分别根据等比数列及等差数列的前n项和的公式即可求出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn﹣1，由已知得：，化简得：，即，又a1＞0，q＞0，解得：，∴an=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=an2+log2an=4n﹣1+（n﹣1）∴Tn=（1+4+42+…+4n﹣1）+（1+2+3+…+n﹣1）=+=+．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求时直线l的普通方程；（2）直线l和曲线C交于两点A，B，点P的直角坐标为(2,3)，求的最大值.参考答案：（1）：x2+y2﹣4y＝0，：；（2）【分析】（1）把＝4sinθ两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．【详解】（1）由＝4sinθ，得2＝4ρsinθ，∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y＝0．当a＝时，直线过定点（2，3），斜率k＝﹣．∴直线的普通方程为y﹣3＝﹣，即；（2）把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y＝0，得t2+（2sina+4cosa）t+1＝0．设的参数分别