福建省漳州市锦湖中学高三数学文期末试卷含解析

福建省漳州市锦湖中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数34815

分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数15x32乙校：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1289

分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y3则x，y的值分别为（

）（A）、12,7

（B）、10,7

（C）、10，8

（D）、11,9 参考答案：B(1)从甲校抽取110×＝60(人)，从乙校抽取110×＝50(人)，故x＝10，y＝7.2.设非空集合P、Q满足，则（

）A．

B．，有C．，使得 D．，使得参考答案：B故选B．3.若集合，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.在的展开式中，常数项为 （

）A．-240

B．-60

C．60

D．240参考答案：D5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2＝3，a6＝11,则S7等于．A．13

B．35

C．49

D．63参考答案：C6.下列命题正确的是………(

)A.,则()B.若数列、的极限都不存在，则的极限也不存在C.若数列、的极限都存在,则的极限也存在D.设，若数列的极限存在,则数列的极限也存在参考答案：C7.对，向量的长度不超过的概率为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】

即

即

所以。8.多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C

【知识点】由三视图求面积、体积．G2解析：用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C．【思路点拨】用割补法可把几何体分割成三部分,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．9.某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．54

B．45

C．27

D．81参考答案：B画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,故选B.

10.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（

）A.4 B. C.2 D.参考答案：C【分析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的函数图像恒过定点A，且点A在直线mx+ny+1＝0上，若，则的最小值为 参考答案：812.在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）参考答案：20试题分析：由题意可得，令，综上所述，的系数为，故答案为.考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.13.若实数满足不等式组则的最小值是

．参考答案：4略14.定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：．（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．【解答】解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜ab＜1，从而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（ab）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有ab＞1，从而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，∴ln+（ab）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（ab）=bln+a，命题①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时，b，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命题④正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④．15.理：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是

.参考答案：16.在△ABC中，三边长分别为a=2，b=3，c=4，则=

．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosA，cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，即可利用二倍角的正弦函数公式化简求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，c=4，∴cosA==，可得：sinA==，cosB==，sinB==，∴===．故答案为：．17.若直线为函数图像的切线，则参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．参考答案：（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，……（1分）当时，，当时，，而也满足此式．所以（）．……（1分）所以，……（1分），因此．……（1分）（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，……（2分）由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）解得或．……（1分）所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．…（1分）（3）由，，得，……（1分）①若，则，，，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．此时，为，，，，，，…．符合题意．……（1分）②若，则，，因为周期为，故，所以，即或，解得或，均不合题意．…（1分）设数列的前项和为，则对，有……（1分）即

所以

因此．（2分）19.设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先判断函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．再求导，由导数的正负判断函数的单调性；（Ⅱ）尝试n的值，使y=f（x）的最大值小于y=g（x）的最小值即可，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，，令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：xf′（x）+0﹣f（x）↗

↘所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：x（0，n）n（n，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘↗所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，∴≥，即en+1≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，当n=1时，成立，当n≥2时，≥lnn，即≥0，设h（n）=，n≥2，则h（n）是减函数，∴继续验证，当n=2时，3﹣ln2＞0，当n=3时，2﹣ln3＞0，当n=4时，，当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，则n的最大值是4．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．20.（本题满分12分）如图，抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求；（Ⅱ）若，求圆C的半径．参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的准线l的方程为………………1分由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2）…………2分∴点C到准线l的距离d=2，又，∴……5分（Ⅱ）设，则圆C的方程为………6分即．由，得．设，则，由，得……9分∴，解得，此时．∴圆心C的坐标为，从而，即圆C的半径为………………12分

21.编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值。参考答案：程序为：s=0i=1j=1WHILEi<=10j=j*is=s+ji=i+1WENDPRINTsEND22.（本小题满分12分）已知向量共线，且有函数．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.参考答案：（本小题满