线性代数答案上

习题1.11.求下列排列的逆序数（1）4321解：（2）243165解：（3）217986354解：（4）解：2有一个五阶行列式，其中一项为，试确定其符号？解：逆序数：符号：法二：3设为五阶行列式的一项，取负号,试确定解：符号：①，则该项为，符号②，则该项为，符号由题意可知计算系列三阶行列式（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：5用行列式解方程组（1）解：由于所以方程组的解为故方程组的解为（2）解：先求系数行列式方程组仅有唯一解，又所以方程组的解为：6.用行列式的定义计算行列式（1）解：=（2）解：（3）解：习题1.21计算下列行列式（1）解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：2用行列式的性质证明(1)证明:所以等式成立.(2)=0证明：=03解方程组(1)解:又(2)=0解：4已知,证明有小于1的正根.证明:,有小于1的正根.习题1.31计算行列式(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5).2计算行列式（1）解：=(2)解：=法二：==(3)解：3设，求和的值，其中为元素的代数余子式。解：由第二行、第四行元素与第三行元素的代数余子式的乘积和为0可知：(2)-(1)可得：又4设，求解:5用拉普拉斯定理计算行列式。解：习题1.41解下列方程组（1）解：所以方程组有唯一解，又计算得于是方程组的解为（2）解：利用克莱姆法则求方程组的解：所以方程组有唯一解，又计算得于是方程组的解为2．取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零解？解：齐次线性方程组有非零解（1）解：所以当时，齐次线性方程组有非零解。（2）解：所以，当时，齐次线性方程组有非零解。3.求一个三次多项式，使得解：令，则由题意可得：由（1）可得，将代入（2），（3），（4）可得解这个方程组可得：4．设是平面上不同的两点，试证：过两点的直线为证明：设过两点的直线方程上任一点的坐标，由点斜式可得直线方程：综合习题一1.选择题（1）若是五阶行列式中带证号的一项，则的值为（）解：由于该项的元素取自不同行与不同列，每行每列只能取一个元素，所以只能取1,2.若，则该项为：，符号为：若，则该项为：，符号为：综上所述，，故D正确（2）下列各项中（）为四阶行列式中带正号的项。解：（A）四阶行列式中无此项。（B）符号为：（C）符号为：（D）四阶行列式中无此项。故B正确。（3）行列式=（）1-22解：故A正确（4）设为实数，则当（）时，=0解：所以B正确。（5）当（）时，方程组只有零解0-12-2解:当时，齐次线性方程组只有零解。所以C正确。填空题（1）四阶行列式中带负号且包含因子的项为________.解:四阶行列式中包含因子的项有：其中只能取3,4若，则该项为符号为：若，则该项为符号为：又因为该项带负号，所以该项为（2）如果阶行列式中等于零的元素个数大于，那么此行列式的值为________.解：阶行列式中有个元素，展开式中有项，每一项有个元素相乘，这个元素来自于不同行不同列，且每行与每列取一个元素且只能取一个元素，若这个元素中有一个为0，则该项为0。因为阶行列式中等于零的元素个数大于，则每一项至少有一个零元素，则阶行列式展开式中项都为零，故该阶行列式等于0.（3）行列式=________.解：（4）行列式=________.解：（5）设时，则常数项为________.解：因为的展开式共有24项，每项有4个元素相乘，分别取自不同的行和不同的列，常数项要求四个元素都是常数。若为常数项，第二行只能取，则第一项可取或；若第一行取，则第四行只能取，第三行只能取；若第一行取，则第四行只能取，第三行只能取.所以展开式中常数项只有两项，常数项为：=（6）设方程组有唯一解，则________.解：非齐次线性方程组有唯一解，则系数行列式3计算题（1）计算行列式解：（2）计算行列式解：==4.已知四阶行列式，求的值解：由行列式的性质：阶行列式的任意一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，可得5.设的根，计算解：的根6.证明=证明：左边=右边所以等式成立。7.已知3417,5304,6851,2652都能被17整除，不计算行列式的值，试证能被17整除。证明：3417,5304,6851,2652都能被17整除第四列的元素都能被17整除，从而第四列能提出17故能被17整除。习题2.11.某电子元件厂生产两种电子产品，它们需要的主要元件是：三种，而这些元件的主要原材料是：四种。如果生产产品需要元件1个，4个，1个；又生产元件需用原材料0.5千克，2千克，4千克，3千克；生产元件需用原材料0.8千克，3千克，5千克，4千克；元件需用原材料0.6千克，3千克，6千克，4千克.试用矩阵将两种型号的电子产品所用的元件数量和三种元件所用的四种原材料数量表示出来。解：（1）用表示第种电子产品第个主要元件：（2）用表示第个元件所需第种原材料：2.设甲省两个城市和三个乙省城市的交通线路图见书。而乙省三个城市与丙省两个城市的交通线路见书，其中每条线上的数字表示连接两个城市的不同道路的总数，用矩阵表示甲、乙两省和乙、丙两省城市道路间的信息。解：（1）用表示甲省城市，乙省城市间的道路：（2）用表示乙省城市与丙省城市间的道路：习题2.21.设，，，且，求解：由可得故设矩阵，，求解：，已知，，求满足方程的矩阵解：由可得计算下列矩阵（1）解： （2）解：（3）解：(4)解：设矩阵，，求（1）；（2）；（3）解：（1）=（2）=（3）=已知矩阵，且，求解：已知矩阵,,求及。解：设,(1)计算行列式的值。（2）求行列式解：(1)(2)=求与乘法可交换的所有二阶方阵。解：设满足条件的方阵为==由对矩阵的乘法满足交换律即=为任意实数。10.2.3可逆矩阵1.求下列矩阵的逆矩阵(1)解：,,,(2)解：法一：，法二：（3）解：2.解下列矩阵方程（1）解：设法一：，可逆，且有法二：（2）解：设3.=解：设,则原式变形为；3.已知，其中,求矩阵解：由可得,可逆，则4.若为非退化矩阵，并且。试证：。证明：为非退化矩阵，即,可逆由可得：,证毕。5.设，其中为方阵，为大于1的某个正整数，证明：证明：由可得：习题2.41.用分块矩阵的乘法计算下列各题。(1)，，求解：,其中,其中(2)，，求解：令2.设四阶矩阵，求解：设,其中,,3.设四阶矩阵，求解：设习题2.51.用矩阵的初等变换求矩阵（1）解：,(2)解：令(3)解：2解下列矩阵方程：(1)=解：令,则原式化为：(2).=解：令，则原式化为：可逆。法二：3．设矩阵,且，求矩阵解：由可得：4.已知，其中,，求矩阵解：由可得：习题2.61.求下列矩阵的秩（1）解：矩阵的秩为2.（2）解：矩阵的秩为3.（3）解：矩阵的秩为2.2已知，,若，求解：.设矩阵，问为何值时，。解：由4.在秩为的矩阵中，有没有等于0的阶的子式？有没有等于0的阶子式？解：秩为的矩阵根据矩阵秩的定义可得，存在着阶的非零子式，所有的阶子式全为零，也就是说，并不是所有的阶子式都是非零子式。则存在着阶的非零子式，从而存在着阶的零子式。试证明：证明：将矩阵进行初等行变换，化成行阶梯形矩阵，若阶梯形矩阵中非零行的行数是，将矩阵进行初等行变换，化成行阶梯形矩阵，若阶梯形矩阵中非零行的行数是，矩阵为准对角矩阵。进行初等行变换化成行阶梯形矩阵，则非零行的行数是，则故。综合习题二1.选择题（3）设可逆，（）为对称矩阵为可交换矩阵为非奇异矩阵解：由可逆，则,为非奇异矩阵。(4)设为阶可逆矩阵，是矩阵的伴随矩阵，则=（）解：(5)设为阶方阵，是矩阵的伴随矩阵，为常数，则=（）解：2填空题（1）设为三阶方阵，且,则=________.解：(2)设，当且仅当________时，.解：由可得当且仅当时，（3）设，则________.解：……………..（4）设是矩阵的伴随矩阵，则________.解：,又(5).设为三阶方阵，且，又,则________.解：(6)设为三阶方阵，，则________,________.解：(7)已知，且可逆，则=________.解：由可得：又可逆，设其逆为，则3.计算（1）解：设(2)（0）解：，其中,则4.求逆矩阵（1）解：(2)解：5.求矩阵的秩（1）解：矩阵的秩为2.（2）解：矩阵的秩为3.6已知矩阵，（1）设；（2）