2025届新高考数学精准突破复习 切线放缩

2025届新高考数学精准突破复习切线放缩切线放缩思想一直是导数中重要的思想之一，某些求函数的最小值或证明不等式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果.一般试题难度较大.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

已知函数f(x)＝lnx－xex＋ax(a∈R).(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；考点一利用切线放缩求最值所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝2e－1，因为a≤g(x)恒成立，所以a≤2e－1，故实数a的取值范围为(－∞，2e－1].(2)若a＝1，求f(x)的最大值.方法一设φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)>0，则x>0，令φ′(x)<0，则x<0，所以φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故φ(x)min＝φ(0)＝0，所以φ(x)≥0，故ex≥x＋1.当a＝1时，f(x)＝lnx－xex＋x＝lnx－elnx·ex＋x＝lnx－ex＋lnx＋x≤lnx－(x＋lnx＋1)＋x＝－1，当且仅当x＋lnx＝0时等号成立，即方程x＋lnx＝0有实根，所以f(x)max＝－1.所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点x0，当x∈(0，x0)时，h(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，x0)上单调递增，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(x0，＋∞)上单调递减，从而f(x)max＝f(x0)＝lnx0－

＋x0，即f(x)的最大值为－1.跟踪训练1

已知函数

f(x)＝ax＋lnx＋1，若对任意的

x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，求实数a的取值范围.方法一(切线放缩，利用ex≥x＋1)对任意的x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，因为xe2x－(lnx＋1)＝e2x＋lnx－(lnx＋1)≥(2x＋lnx＋1)－(lnx＋1)＝2x，当且仅当2x＋lnx＝0时等号成立(方程显然有解)，所以a≤2.方法二(隐零点)因为f(x)＝ax＋lnx＋1，所以对任意的x>0，f(x)≤xe2x恒成立，等价于则只需a≤m(x)min

即可，再令g(x)＝2x2e2x＋lnx(x>0)，所以当0<x<x0

时，m′(x)<0，当x>x0时，m′(x)>0，所以m(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因为

＋lnx0＝0，所以ln2＋2lnx0＋2x0＝ln(－lnx0)，即ln(2x0)＋2x0＝ln(－lnx0)＋(－lnx0)，因为s(2x0)＝s(－lnx0)，所以2x0＝－lnx0，所以实数a的取值范围为(－∞，2].典例2

已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m).(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；考点二利用切线放缩证明不等式因为x＝0是f(x)的极值点，令u(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，则u′(x)＝(x＋2)ex>0，所以u(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又u(0)＝0，所以当－1<x<0时，u(x)<0，故f′(x)<0；当x>0时，u(x)>0，故f′(x)>0，从而f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(2)当m≤2时，证明：f(x)>0.方法一当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，下面先证ex≥x＋1，令g(x)＝ex－x－1(x∈R)，则g′(x)＝ex－1，所以g′(x)<0⇔x<0，g′(x)>0⇔x>0，从而g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(0)＝0，所以g(x)≥0，从而ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立，再证ln(x＋2)≤x＋1，令h(x)＝ln(x＋2)－x－1(x>－2)，所以h′(x)>0⇔－2<x<－1，h′(x)<0⇔x>－1，从而h(x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，故h(x)max＝h(－1)＝0，所以h(x)≤0，故ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1时等号成立，综上所述，有ln(x＋2)≤x＋1≤ex，且两个等号不能同时成立，所以ln(x＋2)<ex，故ex－ln(x＋2)>0，因为当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.方法二当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，令g(x)＝ex－ln(x＋2)，x>－2，令h(x)＝(x＋2)ex－1(x>－2)，则h′(x)＝(x＋3)ex>0，所以h(x)在(－2，＋∞)上单调递增，当－2<x<x0时，h(x)<0，所以g′(x)<0，当x>x0时，h(x)>0，所以g′(x)>0，从而g(x)在(－2，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(x0)＝

－ln(x0＋2)，

①因为h(x0)＝(x0＋2)－1＝0，两边取对数得x0＝－ln(x0＋2)，所以g(x)>0，即ex－ln(x＋2)>0，因为当m≤2时，f(x)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.跟踪训练2

已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax.(1)试讨论f(x)的单调性；f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增；(2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2.当a＝1时，f(x)＝lnx－x2＋x，要证当x>0时，f(x)<e2x－x2－2，只需证lnx<e2x－x－2.令g(x)＝e2x－2x－1，则g′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)，当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝0，所以当x>0时，e2x>2x＋1，所以e2x－x－2>x－1.所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，所以当x>0时，h(x)≥h(1)＝0，即当x>0时，x－1≥lnx，所以当x>0时，e2x－x－2>x－1≥lnx，即lnx<e2x－x－2，所以当x>0时，f(x)<e2x－x2－2.当要证明的不等式中既含有ex，又含有lnx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.常用的切线放缩有：总结提升在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将ex或lnx放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.注意：解题中若要用不等式ex≥x＋1，ex≥ex,1－

≤lnx≤x－1等进行放缩，需要先给出证明.总结提升1231.(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝ex－1－a(x＋1)(x≥1)，g(x)＝(x－1)lnx，其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；123易证ex≥x＋1，所以ex－1≥x，当且仅当x＝1时取等号，123123(2)若a取(1)中的最大值，证明：f(x)≥g(x).易证lnx≤x－1，所以当x≥1时，(x－1)lnx≤(x－1)2，123123因为(x－1)2≥(x－1)lnx，123故f(x)≥g(x)成立.2.已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求函数f′(x)在区间[0,1]上的零点个数；(其中f′(x)为f(x)的导数)123函数f(x)＝ex＋2x2－3x的导数f′(x)＝ex＋4x－3，则f′(x)＝ex＋4x－3在区间(0,1)单调递增，又f′(0)＝1－3＝－2<0，f′(1)＝e＋4－3＝e＋1>0，则函数f′(x)在区间[0,1]上只有一个零点.123由y＝ex－x－1，得y′＝ex－1，可得当x>0时，y′>0，函数y＝ex－x－1单调递增，当x<0时，函数y＝ex－x－1单调递减，则ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，1231233.设函数f(x)＝aex－xlnx，其中a∈R.(1)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；123方法一由题意知，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，123故g(x)在(0,1)上单调递增，故g(x)在(1，＋∞)上单调递减，123方法二由题意，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，易证lnx≤x－1，ex≥ex，123123123下面证明当x>1时该不等式也成立，123令r(x