吉林省长春市农安县巴吉垒中学高三数学理期末试题含解析

吉林省长春市农安县巴吉垒中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（

）A.

B.C.

D.参考答案：A略2.已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知为实数集，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C∵=为实数，∴2﹣a=0，即a=2．4.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A.27

B.24

C.18

D.12参考答案：B该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为.故选B.5.复数，i是虚数单位，则z的虚部是A.2i

B.-2i

C.2

D.-2参考答案：【知识点】复数的概念.L4【答案解析】D

解析：解：根据复数的概念可知虚数的虚部为-2，所以D选项正确.【思路点拨】根据复数的概念直接求出结果.6.函数的定义域为（）A．[0，1] B．（0，1） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数的真数大于零列出不等式，由一元二次不等式的解法求出解集，可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣x＞0，解得x＜0或x＞1，所以函数的定义域是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选D．7.如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一球面上，则该球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D．8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则（

）A．

B．8

C.

16

D．参考答案：A抛物线C：的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，与x轴交于点Q设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．∵，∴，即，∴.∴,∴直线AB的斜率为，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=（x﹣1），将y=（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=．故选：A．

9.已知，则下列结论不正确的是(

)A．a2<b2

B．ab<b2

C．

D．|a|+|b|>|a+b|参考答案：D略10.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点P（）满足不等式组，则的最大值是

，最小值是

.参考答案：12.（2014?嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．参考答案：考点： 简单线性规划．专题： 计算题．分析： 画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答： 解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评： 如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．13.关于函数（1）是f(x)的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则．上述说法正确的序号为_______．参考答案：（1）（2）（4）【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性以及零点，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】（1）因为，故可得，令，解得，故可得在区间单调递减，在单调递增，故是的极小值点；故（1）正确；（2）令，故可得在恒成立，故在单调递减；又当时，，当时，，故可得在区间上只有一个零点；故（2）正确；（3）令，故可得在恒成立，故可得在定义域上单调递减；又当，故区间不恒成立，即在区间上不恒成立；故（3）错误.（4）由题可知，故可得，则，令，解得，故可得在区间单调递减，在区间单调递增.故，故在单调递增.要满足题意，只需，等价于在上至少有两个不同的正根，也等价于与直线在区间至少有两个交点.又，故可得，令，故可得在区间恒成立，故可得在上单调递增，又，故可得区间上单调递减，在区间上单调递增.则要满足题意，只需，又因为，则.故（4）正确.综上所述，正确的有：（1）（2）（4）.故答案为：（1）（2）（4）.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和零点、方程的根、参数的范围，属压轴题.14.设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是___________________________．参考答案：15.

设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(1-x)，若f(3)=2，则f(2013)=

.参考答案：16.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是

.参考答案：【标准答案】１0【试题解析】由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足,即10为正确答案.【高考考点】考查分层抽样方法。【易错提醒】不明概念。【备考提示】对统计这部分内容，高考要求不高，主要是要抓住概念。17.极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（sinx﹣cosx，1）=（cosx，），函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面积．参考答案：【考点】三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量数量积运算，求出函数解析式，利用正弦函数的单调性，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）由f（A）=1，求出A，根据，c=4，利用余弦定理，求出b，即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量=（sinx﹣cosx，1）=（cosx，），∴函数f（x）==（sinx﹣cosx）cosx+=sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ可得函数f（x）的单调递增区间．（2）f（A）=sin（2A﹣）=1，∴A=，∴12=b2+16﹣4b，∴b=2，∴△ABC的面积是=．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为．设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求|PA|2+|PB|2的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（m，0）（﹣≤m≤），则直线l的方程为y=x﹣m，代入椭圆方程，表示出|PA|2+|PB|2，利用韦达定理代入，即可求|PA|2+|PB|2的最大值．解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，∴c=1，=，∴a=，∴b==1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设点P（m，0）（﹣≤m≤），则直线l的方程为y=x﹣m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入椭圆方程，消去y，得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=2=2=﹣m2+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵﹣≤m≤，即0≤m2≤2∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max=，|PA|2+|PB|2的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．

（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；

（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．参考答案：解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；（II）随机变量的取值为的分布列为012P所以的数学期望为21.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱CC1上的一点．（1）若A1C//平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．

参考答案：

（1）证明：连结交于点，连结，又因为平面，平面平面平面，所以

……………3分因为四边形是正方形，对角线交于点，所以点是的中点，所以，所以在中，.

……………6分（2）证明：连结.因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面，又平面，所以．…………………8分因为底面是正方形，所以．

……………………10分又，面，面，所以面.

…………………12分又因为,所以，又因