广东省梅州市松源中学高三数学文期末试题含解析

广东省梅州市松源中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中的假命题是(

)A.R

B.N

C.R,lg

D.R,tan

参考答案：B2.设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}参考答案：B【分析】分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2+2x﹣3＜0}={x|（x﹣1）（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜0}={﹣1，0}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于、两点，以线段AB为直径的圆的圆心为，半径为r.点到C的准线l的距离与r之积为25，则（

）A．40

B．30

C．25

D．20参考答案：A由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为，则有，故．4.已知x，y满足不等式组目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有()A．a>1

B．a>－1

C．a<1

D．a<－1参考答案：D5.设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（

）A.直线l不平行于直线m B.直线l与直线m异面C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直参考答案：C【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【详解】∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上，∴直线l与直线m没有公共点，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题．6.已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前n项和为，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.若复数是纯虚数，则实数a的值为()A．1

B．2

C．1或2

D．－1参考答案：B8.若集合，，则集合的真子集的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：A试题分析：若集合，，则集合，故其真子集的个数为个，故选A.考点：1、集合的基本运算；2、集合的基本关系.9.设，，则必有（

）A．

B.

C．

D．参考答案：D10.设全集是实数集，，，则=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)12.在复平面内，复数对应的点的坐标为

.参考答案：略13.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。14.若x＞﹣3，则的最小值为．参考答案：考点： 基本不等式．专题： 计算题．分析： 由题意可得x+3＞0，所以=﹣3，由基本不等式可得答案，注意验证等号成立的条件．解答： 解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，所以=﹣3≥2﹣3=，当且仅当，即x=时取等号，故答案为：点评： 本题考查基本不等式求最值，凑出﹣3是解决问题的关键，属基础题．15.在上任取一个数，代入三个函数，，的计算程序，得到三个值，接着自动将它们输入下一个程序（对应程序框图如上右图），则输出的结果为的概率是_________参考答案：略16.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为

．参考答案：120017.已知圆，过圆心的直线交圆于两点，交轴于点.若恰为的中点，则直线的方程为

.参考答案：或由｜PA｜＝｜PB｜则｜AC｜＝｜PA｜，即A是PC的三等分点xA＝2，代入圆方程5即A(2，3)或(2，7)，故直线l的方程为：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.参考答案：解：（Ⅰ）由条件可知，

…………2分故所求椭圆方程为.

…………4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：.

…………5分由可得：

…………6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.设点，则.

…………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：，

………9分令，可得，，所以点的坐标.

………10分直线的斜率为

…………12分

所以为定值.

…………13分

略19.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）确定与的值；（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.参考答案：（1）依题意得，，解得，.

（2）记从科研单位A抽取的4人为，从科研单位C抽取的2人为，则从科研单位A、C抽取的6人中选2人作专题发言的基本事件有：共15种.

记“选中的2人都来自科研单位A”为事件，则事件包含的基本事件有：共6种.

则.所以选中的2人都来自科研单位A的概率为略20.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如右表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

参考答案：（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,,共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，时间M发生的概率.【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

21.已知函数f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，即可得证；（Ⅱ）由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，运用导数，求出单调区间和极值、最值，即可得到m的范围．【解答】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=为定值；

（Ⅱ）解：由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，得xex+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．22.已知函数f（x）=3x﹣2mx2﹣3ln（x+1），其中m∈R（1）若x=1是f（x）的极值点，求m的值；（2）若0＜m＜，求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出m的值即可；（2）求出函数的导数，根据m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数的导数，通过讨论m的范围确定函数的单调性，从而得到m的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=3x﹣2mx2﹣3ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞），f′（x）=3﹣4mx﹣，f′（1）=3﹣4