辽宁省鞍山市第六十二高级中学高一数学理月考试题含解析

辽宁省鞍山市第六十二高级中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合，，则等于

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：B【考点】数列的应用．【分析】根据数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．【解答】解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3﹣a2=3﹣1=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，aj+ai与aj﹣ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4﹣a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an﹣an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3与a3﹣a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3﹣a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3﹣a1是该数列中的一项，则a3﹣a1=a1或a2或a3①若a3﹣a1=a3同1°，②若a3﹣a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a3﹣a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，故选B．3.已知函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，如果函数g（x）=f（x）[f（x）﹣3a2﹣1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）A．[0，] B．[，1） C．[1，] D．[，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知函数g（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，令ax=t，利用换元法及二次函数性质能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=logax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=ax（a＞0，a≠1），∵函数g（x）=f（x）[f（x）﹣3a2﹣1]（a＞0，且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，∴函数g（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数令ax=t，则g（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）转化为y=t2﹣（3a2+1）t，其对称轴为t=＞0，当a＞1时，t≥1，要使函数y=t2﹣（3a2+1）t在[1，+∞）上是增函数则t=≤1，故不存在a使之成立；当0＜a＜1时，0＜t≤1，要使函数y=t2﹣（3a2+1）t在（0，1]上是减函数则t=≥1，故≤a＜1．综上所述，a的取值范围是[，1）．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换元法及二次函数性质的合理运用．4.已知是关于的方程的两个实根，，则实数的值为

．参考答案：略5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A.32 B. C.16 D.参考答案：D【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.6.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线上，则的值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由三角函数的定义，求得，再利用三角函数的基本关系式，化简运算，即可求解.【详解】由于直线经过第一、三象限，所以角的终边在第一、三象限，若角的终边在第一象限时，在角的终边上一点，由三角函数的定义可得，若角的终边在第三象限时，在角的终边上一点，可得，又由三角函数基本关系式可得原式=，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义求得，再利用三角函数的基本关系式化简求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.已知正项数列满足：

，设数列的前项的和，则的取值范围为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（）A．20B．30C．40D．50参考答案：A【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法，各层抽取的比例相等，只需计算出管理人员中的抽样比，再乘以总认识即可．【解答】解：管理人员中的抽样比，而此单位的总人数为120+24+16=160，故n=160×=20故选A9.

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=x2+4x+3，则y=f[f（x）]+1在区间[﹣3，3]上的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，偶函数f（x）在区间[﹣3，3]上的值域为[﹣1，0]，确定f（x）=0，即可得出y=f[f（x）]+1在区间[﹣3，3]上的零点个数．【解答】解：∵当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=x2+4x+3=（x+2）2﹣1∈[﹣1，0]；又f（x）为R上的偶函数，∴当x∈[2，3]时，f（x）∈[﹣1，0]；又f（x+2）=f（x），∴f（x）为以2为周期的函数，由题意，偶函数f（x）在区间[﹣3，3]上的值域为[﹣1，0]，由f[f（x）]+1=0得到f[f（x）]=﹣1，于是可得f（x）=0或±2（舍弃），由f（x）=0可得x=±1，±3，所以y=f[f（x）]+1在区间[﹣3，3]上的零点个数为4．故选：C，【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，，则＝

；参考答案：；12.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）． 参考答案：cm3【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案． 【解答】解：如图所示， 由三视图可知： 该几何体为三棱锥P﹣ABC． 该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体， 由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2， 由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=cm3， 故答案为：cm3 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键． 13.求值：

▲．参考答案：略14.函数的定义域是____________.参考答案：15.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=

。参考答案：{1，2，3，6，7}16.已知幂函数过点（4，2），则f（2）=．参考答案：考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入即可得出．解答：解：设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入可得2=4α，解得．∴f（x）=．∴f（2）=．故答案为：．点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题．17.函数的图象如图所示，则的值等于

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求两个班参赛学生的成绩的中位数。参考答案：解：(1)各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10,0.05.

∴第二小组的频率为：1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.∵第二小组的频率为0.40，∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝＝＝0.04.由此可补全直方图，补全的直方图如上图所示．

(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴＝0.40，解得x＝100.所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5∴九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为，则0.03×10+（—59.5）×0.04=0.5，得=64.5所以，两个班参赛学生的成绩的中位数是64.519.f(x)是定义在R上的奇函数，且，当时，（1）求函数的周期

（2）求函数在的表达式（3）求

参考答案：解：因为，所以

==所以周期T=4

4分(2)任取，则，所以因为是奇函数，所以，即

9分（3）因为周期为4，=在中令得==

14分

20.已知f（x）=sin（2x+）+1，x∈R．（1）用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．（2）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？参考答案：【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）直接利用五点法，通过列表描点连线，画出函数的图象即可，（2）根据函数f（x）的最小正周期的定义以及三角函数的性质即可求出单调增区间，（3）利用三角函数的平移法则平移即可．【解答】解（1）：列表：2x+0π2πx﹣f（x）=sin（2x+）+1

12101函数函数y=sin（2x+）+1的在区间图为（2）T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z知kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z）．所以所求的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．（3）f（x）=sin（2x+）+1=sin[2（x+）]+1，变换情况如下：将y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，再向下上移1个单位长度，可得f（x）=sin（2x+）+1图象．21.已知函数，（a为常数且a＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），，（m，n]，的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=a[+sin（2x+）]，由已知函数的值域可得a值．（2）由题意可得要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=a（sinxcosx++cos2x）=a（sin2x++cos2x）=a[+sin（2x