复变函数复数及其几何表示

复变函数复数及其几何表示

《复变函数》主讲教师：赵景霞E-mail:zhaojingxia@第2页,共51页，2024年2月25日，星期天研究对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数等。复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍第3页,共51页，2024年2月25日，星期天学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。第4页,共51页，2024年2月25日，星期天复变函数的发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。第5页,共51页，2024年2月25日，星期天

直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的发展过程第6页,共51页，2024年2月25日，星期天复变函数的发展过程1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。第7页,共51页，2024年2月25日，星期天复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数的发展过程第8页,共51页，2024年2月25日，星期天二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的发展过程第9页,共51页，2024年2月25日，星期天第一章复数及复平面§1.1复数及其几何表示学习要点掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的代数运算熟练掌握复数的方根第10页,共51页，2024年2月25日，星期天一、复数的概念

复数z的实部

Re(z)=x;虚部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)第11页,共51页，2024年2月25日，星期天

一般,任意两个复数不能比较大小。复数相等二、四则运算z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第12页,共51页，2024年2月25日，星期天复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。第13页,共51页，2024年2月25日，星期天

共轭复数的性质定义若z=x+iy,称

z=x-

iy

为z的共轭复数.(conjugate)三、共轭复数第14页,共51页，2024年2月25日，星期天例4第15页,共51页，2024年2月25日，星期天第16页,共51页，2024年2月25日，星期天解：第17页,共51页，2024年2月25日，星期天例4证明：第18页,共51页，2024年2月25日，星期天例4证明：第19页,共51页，2024年2月25日，星期天四、复数的几何意义横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。第20页,共51页，2024年2月25日，星期天我们可以得到两个重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z1第21页,共51页，2024年2月25日，星期天oxy(z)P(x,y)xy

z=0时，幅角无意义。

幅角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，第22页,共51页，2024年2月25日，星期天第23页,共51页，2024年2月25日，星期天1.三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数z2.指数表示法yox第24页,共51页，2024年2月25日，星期天例5例6第25页,共51页，2024年2月25日，星期天例5解：第26页,共51页，2024年2月25日，星期天例6解：第27页,共51页，2024年2月25日，星期天例6解：第28页,共51页，2024年2月25日，星期天练习：求下列复数的模与幅角主值：求下列复数的三角表示式与指数表示式.第29页,共51页，2024年2月25日，星期天解：第30页,共51页，2024年2月25日，星期天.第31页,共51页，2024年2月25日，星期天五、复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法集合相等定理：第32页,共51页，2024年2月25日，星期天对除法，有将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的几何意义第33页,共51页，2024年2月25日，星期天例7解：第34页,共51页，2024年2月25日，星期天例5解：第35页,共51页，2024年2月25日，星期天第36页,共51页，2024年2月25日，星期天例6藏宝图从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右转个直角再走这么多步，在这里打个桩。某岛，岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树，还有一个绞架。回到绞架，朝松树走，同时记住所走的步数，到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩。在两个桩中间挖，就可以找到宝藏！问题是绞架年代久远烂掉了，还能找到宝藏吗？第37页,共51页，2024年2月25日，星期天1-1第一根桩位置第二根桩位置第38页,共51页，2024年2月25日，星期天例7解：第39页,共51页，2024年2月25日，星期天第40页,共51页，2024年2月25日，星期天六、复数的乘幂与方根则有：——棣摩弗(DeMoivre)公式第41页,共51页，2024年2月25日，星期天第42页,共51页，2024年2月25日，星期天而k取其它整数时，这些根又会重复出现。第43页,共51页，2024年2月25日，星期天例11练习例10第44页,共51页，2024年2月25日，星期天例9第45页,共51页，2024年2月25日，星期天第46页,共51页，2024年2月25日，星期天几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyo第47页,共51页，2024年2月25日，星期天例10第48页,共51页，2024年2月25日，星期天NAOz七、复球面与无穷远点球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。对于平面上的任一点A，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面