任意角的三角比定义

关于任意角的三角比定义初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)

思考

角的范围已经推广，那么我们如何定义任意角

的三角函数呢？

AB邻边

斜边对边C复习第2页,共18页，2024年2月25日，星期天

任意角三角函数的定义

已知

是任意角，P(x，y)，P'

(x'，y')是角

的终边与两个半径不同的同心圆的交点，

则由相似三角形对应边成比例得由于点

P，P

在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得P'PyxOx'y'r'yxr新授第3页,共18页，2024年2月25日，星期天

所以当角

不变时，不论点P在角

的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只依赖于

的大小，与点P在角

终边上的位置无关.新授第4页,共18页，2024年2月25日，星期天设角

的终边上的任意一点P（x，y），点

P到原点的距离为

r.

于是我们有如下定义：比值叫做角

的余弦.记作cos

比值叫做角

的正弦.记作sin

比值叫做角

的正切.记作tan

新授第5页,共18页，2024年2月25日，星期天

依照上述定义，对于每一个确定的角

，都分别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应关系都是以角

为自变量的函数，分别称作角

的余弦函数、正弦函数和正切函数．新授第6页,共18页，2024年2月25日，星期天计算三角函数值的步骤：S1

画角在直角坐标系中，作转角

；S2

找点在角的终边上任找一点P，使

OP

＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标；S3求值根据三角函数定义，求出角

的三角函数值．

三角函数求值新授第7页,共18页，2024年2月25日，星期天例1

已知角

终边经过点P（2，-3）如图，求角

的三个三角函数值．OyxP（2，-3）解已知点P（2，-3），则例题讲解第8页,共18页，2024年2月25日，星期天例2

试确定三角函数在各象限的符号．解由三角函数的定义可知，sin

＝，角

终边上点的纵坐标y的正、负与角

的正弦值同号；cos

＝，角

终边上点的横坐标x的正、负与角

的余弦值同号；tan

＝，则当x与y同号时，正切值为正，当x与y异号时，正切值为负．例题讲解第9页,共18页，2024年2月25日，星期天记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦xyoxyoxyo三角函数在各象限的符号如下图所示：

新授第10页,共18页，2024年2月25日，星期天(2)因为130

是第二象限角，所以cos130

＜0.练习1确定下列各三角函数值的符号：(1)

；(2)cos130

；

(3)

(3)因为是第三象限角，解(1)因为是第四象限角，

所以＞0.所以＜0.例题讲解第11页,共18页，2024年2月25日，星期天例3使用函数型计算器，计算下列三角函数值：(1)sin67.5

，cos372

，tan(－86

)；(2)sin1.2，cos，tan．例题讲解第12页,共18页，2024年2月25日，星期天1.以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆.2.如图，角

的终边与单位圆交于点P，则根据三角函数定义可知，点P的坐标x，

y分别为cos

和sin

，即P(

cos

,sin

).O

M

x

A(1,0)y1

P由于cos

＝x＝OM；

sin

＝y＝MP，于是我们把规定了方向的线段OM称作角

的余弦线，MP称作角

的正弦线.

单位圆与三角函数线(cos

,sin

)新授第13页,共18页，2024年2月25日，星期天练习2（1）

在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线．

（1）；（2）．yxOyxOPMPM新授第14页,共18页，2024年2月25日，星期天如何画正切线？yxOATT'所以

AT(AT')称作角

的正切线．新授附注

通过单位圆研究三角函数的几何演示过程可在主界面单击“单位圆研究三角函数.gsp”文件观看.第15页,共18页，2024年2月25日，星期天练习2（2）在单位圆中作出下列各角的正切线．

（1）；（2）．yxOyxOMMTATA新授第16页,共18页，2024年2月25日，星期天

本节课所学知识点：1．任意角三角函数的定义（代数表示）．2．任意角三角