《灰预测与决策》第五章课件

第五章灰优化决策本章内容§5.1灰线性规划§5.2灰色多目标线性规划§5.3灰二层规划§5.4灰色混合整数线性规划§5.1灰线性规划经典的线性规划是一种确定的静态模型，它要求目标函数、约束条件中的各系数都是固定值。但是从客观上讲，规划内部因素在相当程度上是由外部不确定因素决定的，因而规划中存在许多不确定因素，是一个信息不完全的灰色系统。例如产品的价格、单位产品消耗的资源量等都是随着经济、技术等条件波动的。灰线性规划是一种动态的线性规划，因模型中的参数含有灰数，它弥补了一般线性规划的缺乏，不仅可以知道既定条件下的最优资源配置，还可以知道随着技术和经济等条件变化时的动态资源配置。§5.1.1灰线性规划的根本概念灰线性规划其中区间灰线性规划〔GLP〕当记其中第一、二白化线性规划记〔FGL〕的最优解向量为，〔SGL〕的最优解向量为，它们的最优值分别为：模型(FGL)也称为(GLP)的理想模型模型(SGL)也称为(GLP)的临界模型参数线性规划其中三个定位系数的经济学意义反映的是价格灰参数预期的波动情况，一般可由业的销售部门通过考察市场来确定。反映资源预期的供给状况，一般由企业的原材料采购部门根据原材料市场以及经济技术条件确定。反映消耗波动情况，一般由企业生产车间技术人员根据技术条件确定。§5.1.2解集之间的关系定理，，，且对任意固定，为(GLP)的一个白化线性规划定理对任意，有。定理[120]〔P188〕假设记。那么有定理〔P120〕〔1〕假设，且，那么有：。〔2〕假设，且，那么有：。〔3〕假设，且，那么有：。推论

定理〔P120〕〔1〕对于固定的，当，且时，有。〔2〕对于固定的，当，且时，有。〔3〕对于固定的，当，且时，有。推论对任意，有：。定理〔P121〕设，且，〔1〕如果固定，那么有：，〔2〕如果固定，那么有：，〔3〕如果固定，那么有：，〔4〕。定理〔P121〕设〔〕是〔〕的任意白化线性规划，是〔〕的最优解，那么§5.1.3灰线性规划的解法灰线性规划的满意解法由定理至知，区间型灰线性规划〔GLP〕的最优目标值构成一个区间，该区间与参数线性规划的最优目标值所成区间相同，而区间的两个端点正好是这两个白化线性规划〔FGL〕和〔SGL〕的最优目标值。另外根据目标函数关于的增减性，即可求出满意解，这种解法称为灰线性规划的满意解法。具体思想是：对于预先给定的目标期望值，先求与，构成〔GLP〕的灰目标区间，与其期望值区间进行比较，利用的单调性，选出适当，再求解就可得出满意解。

例5.1.1多金属矿山企业的产能优化某矿山企业经营铅锌矿山的主要矿产品是铅精矿和锌精矿.根据矿山企业多年生产经验,对该矿山各矿石产量产生影响的制约因素有劳动力、电力供给以及某种原材料的供给.每生产1t〔吨〕铅精矿需要耗用0.23～0.45个劳动日,耗用电力18～34KW·h(千瓦时),消耗原材料1.7～3.2kg.每生产1t锌精矿需要耗用0.28～0.55个劳动日,耗用电力18～37KW·h(千瓦时),消耗原材料2.4～4.6kg.每生产1t铅精矿可获利润1200～1900元,生产1t锌精矿可获利润1600～2400元.该矿山现有一线劳动力人数437人,日供电能力在28000～35000kW·h,日提供原材料3.27t,矿山最大生产能力为年产矿石量42万t.如果每年按300个工作日计算,试问应该如何安排产能分配,才能使得该矿山企业的获利空间最大？〔1〕建立灰线性规划模型设生产的铅精矿的产量为吨，生产的锌精矿的产量为吨，那么该矿山的铅精矿与锌精矿产能分配的灰色线性规划模型如下：

〔GLP〕其中：

，，，

，，，

，，，

，，，

。〔2〕写出〔GLP〕的理想模型和临界模型〔FGL〕(SGL)〔3〕〔GLP〕的灰对偶线性规划如下〔DGL〕〔DGL〕的第一白化和第二白化线性规划为〔FD〕〔SD〕显然，〔FD〕即为〔SGL〕的对偶，〔SD〕即为〔FGL〕的对偶。〔4〕用对偶单纯形法求解解得，〔FGL〕的最优解为，〔SD〕的最优解为，它们的共同最优值为。〔SGL〕的最优解为〔FD〕的最优解为，它们的共同最优值为，于是，〔GLP〕的灰最优目标区间为，〔GLP〕的任一白化线性规划均有最优解，并且其最优解的目标值落在区间之内。〔5〕假设预先给定目标区间，用参数线性规划求出一个使目标落入该区间的灰最优解。显然，即为〔SGL〕,即为〔FGL〕。所以有，，为的单调函数，考虑到区间与区间的关系，我们试算，得且得为所求的满意解。2.灰线性规划的灰解法首先求解〔GLP〕的两个白化线性规划〔FGL〕、〔SGL〕，得最优解向量和最优目标值，从而灰线性规划的目标值灰数为；由最优解得〔GLP〕的灰解为。这种解法称为灰线性规划的灰解法，由王文平教授提出。例5.1.2用灰解法求解例中的矿山企业生产的灰线性规划问题。

首先解如下两个线性规划和：

利用单纯形法解得：

的最优解为，它的最优值为

的最优解为，它的最优值为

故原灰线性规划的目标值为，灰解为：利用上述结果求解例中灰线性规划的某白化形式，如

即求

的解。

因为由定理，存在，使得上述规划的最优解为

代入约束条件，求得：

由此最优解是：

最优目标值是：3.灰线性规划的新解法定理〔P125〕参数线性规划的最优解为，其中推论5.1.3〔P126〕当时，；当时，。由定理可将灰线性规划的满意解法改进如下：①利用单纯形法解两个线性规划，；②确定；③对于给定的满意度，由

确定的取值范围。④任取，那么均为灰线性规划的满意解。

例5.1.3给定，试求例中灰线性规划的满意解由例的求解知道，白化线性规划，相应的两个最优解为

：，它的最优值为；

：，它的最优值为。

且

故。

又，很据所导论的灰色线性规划模型中的各个灰系数，有：

由定理得：

即

故最优解与最优值为由得

解得故对任意均为原灰线性规划的满意解。该解法既能科学确定参数的取值范围，又能求得很多的满意解，同时还能防止重复求解线性规划问题，从而大大提高了灰线性规划满意解法的有效性。§5.2灰色多目标线性规划灰色多目标线性规划

设

其中那么称为灰色多目标线性规划。当时，为灰色单目标线性规划。——灰色价格矩阵——灰色资源约束向量——灰色消耗矩阵参数灰多目标线性规划

其中定理〔P130〕如果，，那么定理〔P131〕〔1〕如果，对于固定的，有〔2〕如果，对于固定的，有〔3〕如果，对于固定的，有定理对于任意的，有满意度的计算方法对于给定的，称

为灰色多目标线性规划的满意度向量，其中

为第个目标函数的满意度。定义如果，，称为第个目标函数的满意度区间。称为灰色多目标线性规划的满意度下限向量，称为灰色多目标线性规划的满意度上限向量。定义如果，，称为价格参数区间。类似地，可定义资源约束参数区间和消耗参数区间。由定理可知规划能到达的满意度上限向量为规划能到达的满意度下限向量为综上所述，多目标线性规划可分为里外两层最优化模型里层为在一定参数系数下的一般多目标线性优化模型：外层为一个多目标非线性优化模型：模型的解有以下五种情况：〔1〕如果或，那么对于任意、、，灰色多目标线性规划无解；〔2〕如果，那么是灰色多目标线性规划模型中的一个解；〔3〕如果，那么是灰色多目标线性规划模型中的一个解；〔4〕如果，那么对于任意、、都是灰色多目标线性规划模型的解；〔5〕如果，灰色多目标线性规划模型解得情况不定，此时采用智能算法求解。例5.2极限承载力设计优化模型建筑公司为三个工地提供预制桩，力求在到达设计承载力的根底上最经济。每个工地根据土层、桩深分别设计两种桩。建立以桩长为设计变量、总费用最小为目标函数、以保证设计承载力为约束的多目标线性规划：其中为单位体积桩的费用〔元〕，包括材料、人工、运输费用等；为桩身横截面积〔m2〕；为设计桩长〔m〕；为桩的端土承载力〔kPa〕，为桩身横截面积〔m2〕；为桩身周边长度〔m〕；为各层桩周土的摩擦力〔kPa〕。

根据土层及桩深取，，

，；，；

d1=600mm,d2=800mm；，，。

化为灰色多目标线性规划标准形式为

其中，，，，，，，，，。定位区间分别是，，。决策者要求到达的满意度上限向量和下限向量分别为：〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，；〔4〕，；首先计算和，分别取，以及，粒子种群数为2，每群30个粒子，极值个数为3，循环次数为500次，经过屡次计算，结果见表5.1：表5.1各目标函数的和3482.589917.263731.3011019.173880.5510798.79目标函数序号计算该规划所能到达的满意度上下限向量，采用一般满意度公式，分别取，，以及，，，粒子群总数为2，每群30个粒子，极值个数为3，循环次数为500次，求解后计算规划能到达的满意度上下限向量：表5.2规划能到达的满意度向量上限向量下限向量满意度向量〔1〕由于，，即各目标函数要求到达的满意度区间位于规划所能到达的满意度区间之外，所以该规划无解；〔2〕由于，，即各目标函数能到达的满意度区间的上届位于要求的满意度区间内，所以可以取解如表5.3：表5.3计算结果(2)(3)0.73355197.500.73635653.130.73165737.51定位系数目标函数序号〔3〕由于，，即各目标函数能到达的满意度区间都位于要求的满意度区间内，所以对于任意，，都是规划的解。表5.3仍可以作为原规划的解。〔4〕由于，利用粒子群算法求解。取外层种群数为2，每群粒子数为40，循环次数都为100次，在外层每个粒子下取内层种群数为3，每群粒子数20，循环次数都为500次，通过计算可以得到最终的解。具体结果见5.4。

表5.4计算结果(4)从结果可以看出，粒子群算法可以很好的解决灰色多目标线性规划问题。需要注意的是，由于粒子群算法初始化种群是随机地，所以并不是每次都可以快速搜索到最优解，需要进行屡次计算。对于一个满意度，可能存在多组定位系数与之对应，这主要是因为不同定位系数决定的可行域的交集常常不为空，所以对于情形(2)、(3)、(4)，解不一定是唯一的，我们给出只是其中一个解。特别地，对于情形(4)，当决策者要求的满意度区间相对较大时，模型的解搜索比较容易，所以取较小的粒子种群，反之，取较大的粒子种群。0.70215399.520.70605874.000.69955959.77定位系数目标函数序号§5.3灰二层规划§5.3.1灰色二层线性规划模型定义5.3.1含有灰数的二层线性规划称为灰色二层线性规划〔Greybilevellinearprogramming〕，简记为GBLP模型，其数学表示如下：其中，是实列向量，分别是上层决策变量和下层决策变量。

为上层灰色价格矩阵；

为下层灰色价格矩阵；

为灰色消耗矩阵；

为灰色资源约束向量

。

其中：

，，；

，，，。根据一般二层线性规划的理论，对于灰色二层线性规划有如下根本概念：GLBP的灰约束域为GLBP的上层灰决策空间为GLBP下层决策者相应于上层决策的灰决策空间为GLBP的下层最优灰解集为定义当在取具体值时，称以下二层规划

其中是下面规划问题的解

为灰二层线性参数规划，记为。

其中GLBP的参数规划模型可表达为：当时定义5.3.3对于给定的，分别称、为灰色二层规划的上层满意度和下层满意度，其中假设，；假设，；。特别地，当时，可以得到的满意度：假设，；假设，。显然有。定义给定灰靶，假设有，称与该满意度中的相对应的参数规划的最优解为在满意度之下的满意解。类似于单层灰色线性规划中相应的概念，如果，——价格参数区间——资源约束参数区间——消耗参数区间——在参数区间里，各层目标函数能到达的最大满意度——在参数区间里，各层目标函数能到达的最小满意度在二层线性规划中，上层决策是最终的决策。为此可以将模型灰色二层线性规划化为里外两层优化模型：外层是一个单目标非线性优化模型，求解一组参数系数，使上层目标函数的满意度到达要求的范围。模型表示如下：其中，为上层决策者主观上要求到达的满意度区间。里层为在一定的参数系数下一般的二层线性规划模型：灰二层规划中，上层规划问题是决策者追求的最终目标。设上层规划所能够到达的满意度区间为，决策者主观要求到达的满意度区间为，那么灰二层规划模型的解有以下五种情况：〔1〕如果或，那么对于任意、、灰二层规划无解；〔2〕如果，是灰二层规划的一个解；〔3〕如果，是灰二层规划的一个解；〔4〕如果，那么对于任意、、都是灰二层规划的解；〔5〕如果，灰二层规划至少有一个解，此时采用粒子群算法求解。§5.3.2灰色二层线性规划模型的解法对于灰色二层线性规划问题，的满意度算法步骤：Step1.给定最初满意度，取，运用极点枚举法，解得理想模型的最优值；Step2.取，运用极点枚举法，解得临界模型的最优值；Step3.取给定的一个参数系数值，求解二层线性定位规划其中点；Step4.计算参数值相应的满意度；Step5.如果计算得，那么停止计算，输出最优解；否那么，转Step3。例5.3报童问题的灰色二层线性规划模型设生产商生产每份报纸的本钱是元，以每份元的价格批发，每天的批发量为份，报童每天从生产商处以每份元批发价格购入报纸，以每份元的价格零售，每天的零售量是份(),未能售出的报纸由生产商以每份元的价格回收，，，，，，，。且在模型中只考虑一个生产商和一个零售商的情况。在一定的满意度之下，确定出生产商和零售商报童的最优决策方案。

〔1〕先建立数学模型。报童问题的灰二层线性规模型如下：其中，，，，，，。为生产商的利润，为销售商〔报童〕的利润。假设记，，。那么同理有，，。灰二层线性规划的模型转化如下代入数据之后有〔2〕求理想定位模型的最优解和最优目标函数值。

应用普通二层线性规划求解的极点枚举法，求得该理想模型的最优解是，最优值是元。这就是说，上层报刊生产商在生产中，最优生产量是份报刊，所获得的最大利润收入是6120元。〔3〕求临界定位模型的最优解和最优目标函数值应用普通二层线性规划求解的极点枚举法，求得最优解是最优值是这就是说，上层的报刊生产商在生产中，最优生产量是份报刊，所获得的最大利润收入是1768.3元。〔4〕在上层决策者预先给定最低满意度的情况下如果上层决策者预先给定一个最低满意度为，该上层决策者需要得到一个符合满意度的满意解。那么可取该报童问题的灰二层线性规划的的参数规划来进行求解，求出其最优解和最优值。

均值白化定位规划

为：

应用普通二层线性规划求解的极点枚举法，求得的最优解为，

的最优值为

下面计算的满意度。因为

，

设预先给定决策者主观满意度为。可看到

的满意度为，所以在给定的满意度下，报童问题的的满意解是，满意值为§5.4灰色混合整数线性规划定义5.4.1设其中，，，，那么称为灰色混合整数线性规划，记为〔GMLIP〕。

定义5.4.2如果，取灰参数为，，，，那么对应的整数线性规划称为该灰色混合整数参数规划，记为，其解可记为，可行域记为，最优值记为，或者。

定理〔1〕假设，那么：；〔2〕假设，那么：；〔3〕假设，那么：。定理〔1〕对于固定的，当，且时，有〔2〕对于固定的，当，且时，有〔3〕对于固定的，当，且时，有与一般灰色线性规划问题类似，当时，相应规划的目标函数最优值记为；当时，相应规划的目标函数最优值记为。对于任意的，也有定义对于给定的，定义如下那么称为相应参数规划的满意度。类似地，如果，，其中为满意度区间，为灰色混合整数线性规划的满意度下限，为灰色混合整数线性规划的满意度上限。因而