第1章 质点运动学

大学物理主讲:刘玉波1物理学是建立在实验基础上，运用数学方法研究物质运动，物质间相互作用和物质结构的科学。物理学是除数学以外的一切自然科学的基础。2

爱因斯坦说：“学校的目标始终应当是：青年人在离开学校时是作为一个和谐的人而不是一个专家，……发展独立思考和判断的一般能力，应当放在首位，而不应当把专业知识放在首位。如果一个人掌握了他的学科的基础理论，并且学会了独立思考和工作，他必定会找到自己的道路，而且比起那些主要以获得知识为培训内容的人来说，他一定会更好地适应进步和变化”。这应当是我们学习的目的。

3力学(Mechanics)力学的研究对象是机械运动，可以分为运动学、静力学和动力学三部分。本篇主要讨论：质点力学和刚体力学。质点力学中先讨论运动学，再讨论动力学。按发展：经典力学：（又叫牛顿力学或古典力学）以牛顿运动定律为基础

v«c

m0=m

l0=l相对论力学：爱因斯坦的相对论

v

接近光速c

m0<m

l0>l研究对象：质点力学、刚体力学、流体力学、量子力学。4一参照系质点(Referenceframesmasspoints)

1、参照系和坐标系(Coordinatesystem)

宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫运动的绝对性。为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作照考，被选作参照的物体称为参照系，参照系的选择可视问题性质而任意选定。

同一物体的运动，由于我们选取的参照系不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描述的相对性。因此，描述运动必须指出参照系。注意：参照系不一定是静止的。Positionvector

anddisplacement1.1位置矢量和位移5只有参照系不能定量地描述物体的位置。所以要在参照系上固定一个坐标系。这样就可定量描述物体的位置。常用坐标系有直角坐标系、极标系、自然坐标系、柱坐标系和球坐标系。2、质点(Masspoints)在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体可称为质点。3、时间和时刻(Timeandtime)一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。6二位置矢量运动方程*方向：大小：在坐标系中，位置可以用从原点到质点所在位置p的矢径来表示，即(Positionvectorequationofmotion)1位置矢量(Positionvector)72运动方程、轨迹方程(Equationsofmotiontrajectoryequation)P它给出任一时刻质点的位置，表示质点的运动规律，称为质点的运动方程。在运动方程中消去t得到质点的轨迹方程即：f(x,y,z)=0

设质点作平面运动，在平面上取坐标O-XY,则质点P的位置由两个坐标X、Y确定。或位矢随时间变化：或质点的运动方程8

例如，若质点P的位置为(2,3,4)，则质点P的位置矢量为r=2i+3j+4k质点P的位置矢量的大小为质点P的位置矢量的方向余弦为91位移(displacement)平面运动:三维运动:BA其大小为AB

的距离，方向则从A指向B。t1时刻位矢为:t2时刻位矢为:二位移矢量10

例如，若P1点的位置矢量为r1=1i+3j+5k，P2点的位置矢量为r2=2i+4j+6k，则P1与P2点间的位移是多少。P1与P2点间的位移为11

路程是质点在Δt内走过的轨迹的长度,而位移大小是质点实际移动的直线距离.路程用Δs表示.2.路程(Distance)与位移

(displacement)的区别大小：方向：位移：12(3)位移是矢量，路程是标量．位移与路程的区别(1)两点间位移是唯一的．(2)一般情况．

注意：质点的位置矢量依赖于坐标系,而位移矢量与坐标系无关。当Δt→0时:13注意的意义不同．14一速度(velocity)1平均速度(averagevelocity)在时间内，质点位移为BAsD1.2速度和加速度152瞬时速度(Instantaneousvelocity)(简称速度)若质点在三维空间中运动，其速度1.2

速度和加速度16速度的大小为：速度的方向为：1.2

速度和加速度17速度方向切线向前当时,速度的值

速率速度大小1.2

速度和加速度18注意（D）

一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处，其速度大小为（A）（B）（C）讨论1.2

速度和加速度191平均加速度B与同方向二加速度(Acceleration)A在时间内，质点速度增量为1.2

速度和加速度202(瞬时)加速度1.2

速度和加速度21加速度大小速度的方向：加速度单位：在国际单位制(SI)中为m·s-21.2

速度和加速度22加速度大小加速度方向曲线运动指向凹侧直线运动注意：物理量的共同特征是都具有矢量性和相对性．1.2

速度和加速度平面运动:231.2

速度和加速度在定义速度和加速度时，都用到了求极限的方法。这种方法，在物理学各部分经常出现。求极限是人类对物质和运动作定量描述时在准确程度上的一次重大飞跃，实际上极限概念是牛顿在17世纪对物体的运动作定量研究时提出的，可见微分学的创立是与对物体运动的定量研究分不开的，微积分学是数学的一个重要分支，也是研究物理学不可缺少的重要工具。24例1

已知一质点的运动方程为x=2t，y=18-2t2，其中x,y以m计，t以s计。求(1)质点的轨道方程并画出其曲线；(2)质点的位置矢量；(3)质点的速度；(4)前2s内的平均速度；(5)质点的加速度。解：(1)将质点的运动方程消去时间参数t，得质点的轨道方程为1.2

速度和加速度25质点的轨道曲线如图所示：(2)质点的位置矢量为(4)前2s内的平均速度为1.2

速度和加速度(3)质点的速度为(5)质点的加速度为26ABl

例2

如图A、B两物体由一长为l的刚性细杆相连，A、B两物体可在光滑轨道上滑行．如物体

A以恒定的速率v向左滑行,当时,物体B的速率为多少？1.2

速度和加速度27两边求导得ABl因解

选如图的坐标轴1.2

速度和加速度28即ABl

沿轴正向当时，1.2

速度和加速度29直线运动：特点：轨迹为直线方法：一维空间，方向用正负号表示。1.3运动的相对性一直线运动+xOPx质点的位置矢量为：质点的位移为：质点的速度为：质点的加速度为：301.3

运动的相对性由速度和加速度的定义：得：由：得：这就是大家中学时学过的运动学公式。由上两式消去时间参数可得：对于直线运动：31例1-3

一质点沿x轴正向运动，其加速度为a=kt,若采用国际单位制(SI)，则式中常数k的单位是什么？当t=0时，v=v0，x=x0，试求质点的速度和质点的运动方程。解：因为a=kt，所以故k的单位为：由加速度的定义得：所以有：1.3

运动的相对性321.3

运动的相对性等式两边做定积分：得：由速度定义式得：所以有：等式两边做定积分：得：33二相对运动同一运动质点在不同的参照系中的位置矢量不同，速度不同，加速度也不相同，这是由运动的相对性决定的。1.3

运动的相对性34研究的问题:在两个参照系中考察同一物理事件实验室参照系(S)

相对观察者固定运动参照系(S')

相对上述参照系运动质点P相对于两参照系的位置矢量分别为：1.3

运动的相对性35上式两端对时间求导，得：上式可写为：上式两端对时间再求导，得：上式可写为：若S'系相对于S作匀速度直线运动，即u为常量，则：即：1.3

运动的相对性36质点在确定的平面内作曲线运动，称为平面曲线运动。一抛体运动抛体运动：特点：曲线、变速运动方法：分解（迭加原理）（二维空间））当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运动叠加原理，或运动的独立性原理。运动叠加原理1.4平面曲线运动37用运动的迭加原理：位移、速度、加速度先分解在水平和竖直方向，每方向上按直线运动处理。若要求某点的位移、速度、加速度，先求出某点的分量，再用运动的迭加原理求出某点的量（用矢量的合成）。）假如以初速度v0，抛射角θ抛出一物体，则有：初速度分量式：1.4

平面曲线运动38任一时刻加速度分量式：任一时刻速度分量式：任一时刻位置坐标：这就是中学已熟知的抛体运动的有关公式。物体空中飞行时间：1.4

平面曲线运动39空中飞行最大高度：物体飞行水平距离：由上面的公式可以看出：若θ=0，则ymax=0，此时为平抛运动；若θ=，则xmax=，此时射程最大；若θ=，则xmax=0，此时为竖直抛体运动；抛体运动的轨迹方程为：1.4

平面曲线运动40二圆周运动在确定的平面上质点的运动轨迹为圆周的运动称为圆周运动。1、圆周运动的加速度速度增量：变换得：由加速度定义得：1.4

平面曲线运动41切向加速度aτ的大小为：所以有：当Δt0时，Q点无限趋近于P点，vτ极限方向为圆周切线方向；vn的极限方向垂直于切向，沿半径指向圆心。我们将P点处的an称为该点的法向加速度，P点处的aτ称为该点的切向加速度。又因为Δ

OPQ

CPP'，所以S即：1.4

平面曲线运动42故法向加速度an的大小为：质点在圆周上的法向加速度an的大小为：所以切向加速度aτ与质点运动的速率改变相联系,法向加速度an与的大小为质点的方向改变相联系。归纳为：1.4

平面曲线运动432、圆周运动的角量描述平均角速度为：瞬时角速度为：质点的角加速度为：如图所示，角称为质点的角位置，它是时间的函数，即θ=θ(t)，称为质点作圆周运动的角量运动方程。在Δt时间内质点转过的角度称为角位移。1.4

平面曲线运动44质点作圆周运动时，如果角速度不变，即角加速度为零，则质点作匀角速圆周运动；如果角加速度不变但不等于零，则质点作匀角加速度圆周运动。1.4

平面曲线运动453、圆周运动角量与线量之间的关系质点在圆周上通过的路程即弧长为：上式两边同除以时间，得：两边取极限得：即：或：上式两边求导得：即：对于法向加速度有：1.4

平面曲线运动46

对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：

（A）切向加速度必不为零；（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动.讨论1.4

平面曲线运动47

例质点作半径为R的变速圆周运动的加速度大小为：（1）（2）（3）（4）讨论1.4

平面曲线运动48

例1-4

一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°夹角，初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边。已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g=10m·s-2，问：(1)矿坑有多宽，他飞越的时间有多称长？(2)他在东边落地时的速度多大？速度与水平面的夹角多大？解根据题意建立坐标系，如图所示。(1)若以摩托车和人作为质点，则其运动方程为1.4

平面曲线运动49代入数值解方程组得：x=420m，t=7.0s(另一根舍)(2)由速度公式得：落地点速度的大小为：落地点速度与水平面的夹角为：1.4

平面曲线运动50例1-5

一质点沿半径为R的圆周运动，其角位置与时间的函数关系式(角量运动方程)为,取SI制，则质点的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度各是什么？解因所以质点的角速度为质点的角加速度为质点的切向加速度为质点的法向加速度为1.4

平面曲线运动51例1-6