考研数学三(定积分及应用)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学三（定积分及应用）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．下列广义积分发散的是()．A．∫-11B．∫-11C．∫0+∞e-x2dxD．∫2+∞正确答案：A解析：∫-11中，x=0为该广义积分的瑕点，且sinx～x1，由1≥1，得广义积分∫-11发散；为该广义积分的瑕点，且收敛，同理∫01也收敛，故∫-11收敛；∫0+∞e-x2dx中，e-x2为连续函数，因为x2e-x2=0，所以∫0+∞e-x2dx收敛；根据广义积分收敛的定义，∫2+∞收敛，选A．知识模块：定积分及应用2．设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为()．A．π∫ab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxB．π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dxC．π∫ab[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxD．π∫ab[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx正确答案：B解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]，dV={π[m-g(x)]2-π[m-f(x)]2)dx=π[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx．则V=π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx，选B．知识模块：定积分及应用填空题3．=________.正确答案：ln2-解析：=∫01xln(1+x2)dx=ln(1+x2)d(1+x2)∫12lntdt=lnt｜12=∫12t=ln2-知识模块：定积分及应用4．∫02=________.正确答案：解析：知识模块：定积分及应用5．=_______．正确答案：解析：知识模块：定积分及应用6．=_________.正确答案：解析：因为在[-a，a]上连续的函数f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以知识模块：定积分及应用7．设f(x)=e-t2dt，则∫01=_________.正确答案：e-1-1解析：=-2∫01=-∫01e-xdx=e-1-1．知识模块：定积分及应用8．∫0+∞x7e-x2dx=______．正确答案：3解析：∫0+∞x7e-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3．知识模块：定积分及应用9．曲线y=x4e-x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为________．正确答案：解析：A=∫0+∞x4e-x2dx∫0+∞t2e-t.e-tdt知识模块：定积分及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10．设f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．正确答案：令A=∫01f(x)dx，对f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx两边积分，得A=∫01xe2xdx+2A，解得A=∫01f(x)dx=-∫01xe2xdx=∫01xd(e2x)=涉及知识点：定积分及应用11．设L：，过原点O作L的切线OP，设OP、L及x轴围成的区域为D．(1)求切线方程；(2)求区域D的面积；(3)求区域D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．正确答案：(1)设切点为由，解得a=2，切点为P(2，1)，故切线OP：y=(2)区域D的面积为(3)区域D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为涉及知识点：定积分及应用12．设φ(x)=∫sinxcos2xln(1+t2)dt，求φ’(x)．正确答案：φ’(x)=-2ln(1+cos22x)sin2x-ln(1+sin2x)cosx．涉及知识点：定积分及应用13．求∫01xarctanxdx．正确答案：∫01xarctanxdx=∫01arctanxd(x2)=x2arctanx｜01-dx涉及知识点：定积分及应用14．求∫02π｜sinx-cosx｜dx．正确答案：∫02π｜sinx-cosx｜dx=｜sinx｜dx涉及知识点：定积分及应用15．求∫01正确答案：涉及知识点：定积分及应用16．设y’=arctan(x-1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．正确答案：∫01y(x)dx=xy(x)∫01-∫01xarctan(x-1)2dx=y(1)-∫01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-∫01arctan(x-1)2dx=∫01arctan(x-1)2d(x-1)2=∫01arctantdt=(tarctant｜01-∫01涉及知识点：定积分及应用17．计算下列定积分：正确答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)涉及知识点：定积分及应用18．设f(x)=求∫02πf(x-π)dx．正确答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)d(x-π)=∫-ππF’(x)dx=∫-π0+∫0πxsin2xdx=-arctan(cosx)｜-π0+∫0πsin2xdx涉及知识点：定积分及应用19．求+sin2x]cos2xdx．正确答案：因为为奇函数，所以+sin2x]cos2xdx=sin2xcos2xdx=sin2x(1-sin2x)dx=2(I2-I4)涉及知识点：定积分及应用20．求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最大值与最小值．正确答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)e-x2=0，得f(x)的唯一驻点为x=当x∈(0，)时，f’(x)＞0，当x∈(，+∞)时，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则x=及x=为函数f(x)的最大值点，最大值为因为f(+∞)=f(-∞)=I(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．涉及知识点：定积分及应用21．设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．正确答案：∫abf(x)dx∫01f[a+(b-a)t].(b-a)dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)t]dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．涉及知识点：定积分及应用22．设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．正确答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx-｜dx=∫01(-arctanx)dx=-∫01arctanxdx=-xarctanx｜01+∫01ln(1+x2)｜01=ln2．涉及知识点：定积分及应用23．设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．正确答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x-x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x-x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx-sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0．涉及知识点：定积分及应用24．求曲线y=x2-2x与直线y=0，x=1，x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：所求面积为S=∫12｜f(x)｜dx=J(2x-x2)dx+I(x2-2x)dx=(x2-x3)｜12+(x3-x2)｜23=2；Vy=2π∫13x｜f(x)｜dx=2π[∫12x(2x-x2)dx+∫23x(x2-2x)dx]=2π[(x3-x4)｜12+(x4-x3)｜23]=9π．涉及知识点：定积分及应用25．设L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0≤t≤(1)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?(2)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正确答案：S1(t)=tsint-∫0tsinxdx=tsint+cost=1，S2(t)=sinxdx-sint=cost-sint，S(t)=S1(t)+S2(t)=sint+2cost-1．由S’(t)=cost=0得(1)当t=时，S(t)最小，且最小面积为(2)当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1．涉及知识点：定积分及应用26．曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积．正确答案：取[x，x+dx][1，2]，dV=2πx｜(x-1)(