广东省湛江市雷州林业局雷林中学高三数学理联考试题含解析

广东省湛江市雷州林业局雷林中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆及以下３个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有………（

）．.０个

１个

.２个

.３个参考答案：C2.某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞4时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数模型的选择与应用，难度中档．3.如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段A、B围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即对称f（m）=n．对于这个函数y=f（x），下列结论不正确的是（

）

A．；

B．的图象关于（，0）；

C．若=，则x=；

D．在（0，1）上单调递减，参考答案：D当此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时直线AM的方程为y=x+1，即，所以①是错误。由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而，不是奇函数，所以②是错误。由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故在定义域上单调递增是正确的；③是正确命题。，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知的图象关于点对称，④正确。所以综上知，③④是正确命题。故选B4.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为(

) A．﹣4 B． C．4 D．参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．解答： 解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5.在数列中，，数列的最小项是

A、

B、

C、

D、参考答案：B6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A． B．

C． D．参考答案：C7.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点,则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B考点：复数综合运算，虚部为1，故选B9.在

上有一点

，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则点的坐标是(

)

A．（－2，1）

B．（1，2）

C．(2，1）

D．（－1，2）参考答案：B略10.已知等差数列的前项和为，若且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是各项不为零的项等差数列，且公差，将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列。

（1）若=

；

（2）所有数对所组成的集合为

。参考答案：12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC；②若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°；③tanA+tanB+tanC的最小值为3；④当tanB﹣1=时，则sin2C≥sinA?sinB；⑤若[x]表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的A，B，C仅有一组．参考答案：①②④⑤【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】①利用和角的正切公式，结合三角形的内角和即可判断；②由①可得tanA=1，进而可判断；③举出反例：A=，B=C=计算即可；④由①可得C=60°，进而利用和差角公式及正弦型函数的性质即可判断；⑤由[x]的定义，结合①可确定tanA、tanB、tanC为整数，进而可判断．【解答】解：①由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正确；②由tanA：tanB：tanC=1：2：3，设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，∴tanA=tan[π﹣（B+C）]=﹣tan（B+C）=﹣=﹣=x，整理得：x2=1，解得：x=1或x=﹣1，∴tanA=1或tanA=﹣1（不合题意，舍去），又A为三角形的内角，则A=45°，故正确；③当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故错误；④当tanB﹣1=时，tanA?tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，此时sin2C=，sinA?sinB=sinA?sin（120°﹣A）=sinA?（cosA+sinA）=sin2A﹣cos2A=sin（2A﹣30°），则sin2C≥sinA?sinB，故正确；⑤∵对任意实数x，均有[x]≤x，∴[tanA]+[tanB]+[tanC]≤tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，又由①可知tanA、tanB、tanC为整数，不妨设tanA＜tanB＜tanC，则tanA、tanB、tanC分别为1、2、3，故正确；故答案为：①②④⑤．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，属于中档题．13.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是上的平均值函数，0就是它的均值点，若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是

.参考答案：【知识点】函数中的新概念问题.

B1【答案解析】(0，2)

解析：因为函数是上的“平均值函数”，所以存在使得，，又所以实数的取值范围是．【思路点拨】根据平均值函数”的定义写出m关于的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可.14.若点是曲线上一点，且在点处的切线与直线平行，则点的横坐标为________

参考答案：115.设二元一次不等式组

的图象没有经过区域的取值范围是______________.参考答案：（0，1）（1，2）（9，+∞）16.设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________;参考答案：

{2,4,6,8}17.已知函数有零点，则实数的取值范围是___________．参考答案：(-∞,2ln2-2〕略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.）设椭圆D：的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足且AB⊥AF2．

（I）求椭圆D的离心率：

（II）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：相切，求圆C方程及椭圆D的方程；

（III）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足

（O为坐标原点），求实数t取值范围．

参考答案：略19.（本题满分12分）(1)如图，是的斜边上的中点，和分别在边和上，且，求证：

(表示线段长度的平方)

(尝试用向量法证明)(2)已知函数图像上一点，过点作直线与图像相切，但切点异于点，求直线的方程。参考答案：（2）设为函数图象上任一点，

易得，则，故处切线为又知过点，代入解方程得：（舍），故所求直线的斜率，从而切线方程为：

12分20.已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且AA1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2．（Ⅰ）证明：PQ∥面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H，可证四边形PQBE为平行四边形，得出PQ∥BE，故而PQ∥面A1ABB1；（II）由AA1⊥面ABCD可得AA1⊥BC，由相似三角形可得AB1⊥BE，故而AB1⊥平面PEBC，求出B1到平面PEBC的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AA1中点E，连接PE、BE，过D1作D1H⊥AD于H．∵AA1⊥面ABCD，AA1∥D1H，∴D1H⊥面ABCD．∴∠D1DA为DD1与面ABCD所成角．∴=2，又AA1=4，∴DH=2．∴A1D1=2．∴PE=（A1D1+AD）=3，又EF∥AD，∴四边形PQBE为平行四边形，∴PQ∥BE，又PQ?面A1ABB1，BE?面A1ABB1，∴PQ∥面A1ABB1．（Ⅱ）∵AA1⊥面ABCD，BC?平面ABCD，∴AA1⊥BC，又BC⊥AB，AB∩AA1=A，∴BC⊥面ABB1A1，又AB1?平面ABB1A1，∴BC⊥AB1．在梯形A1ABB1中，Rt△BAE≌Rt△AA1B1，∴∠B1AE+∠AEB=∠B1AE+∠AB1A1=90°，∴AB1⊥BE，又BE∩BC=B，BE?平面PEBC，BC?平面PEBC，∴AB1⊥面PEBC．设AB1∩BE=M，∵AE=2，AB=4，∴BM=2，∵A1B1=2，AA1=4，∴AB1=2，∴AM==，∴B1M=AB1﹣AM=，又BQ=BC=3，∴V=V===6．21.（本小题满分12分）

在直三棱柱中，

∠ACB=90°,Ｍ是

的中点，Ｎ是的中点

（Ⅰ）求证：MN∥平面

；

（Ⅱ）求点到平面BMC的距离；

（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值大小。参考答案：（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN＝

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1D

又MN平面A1B1C1

AD1平面A1B1C1

∴MN∥平面--------------------------4分(2)因三棱柱为直三棱柱，∴C1C⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中，C1C=2,CM=C1M=∴.--------------------------8分(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，∴BE⊥C1M,∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=∴cos∠BEC=.二面角的平面角与∠BEC互补，所以二面角的余弦值为--------------------12分略22.设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范