辽宁省大连市第一百零三中学高三数学理下学期摸底试题含解析

辽宁省大连市第一百零三中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A.3 B.2 C. D.

参考答案：B略2.（5分）已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．参考答案：D【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案．

解：当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．【点评】：本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．3.若，则大小关系是

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D4.参考答案：5.已知集合等于A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P点作PH⊥F1F2于H，若PF1⊥PF2，则|PH|=（）A． B． C．8 D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10．由PF1⊥PF2，利用勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=82．即可求出|PF1|?|PF2|=9，再利用三角形的面积S=|PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PH|，即可得出所求值．【解答】解：椭圆+=1得a2=25，b2=9，则c===4，∴|F1F2|=2c=8．由椭圆定义可得PF1|+|PF2|=2a=10，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=82．∴2|PF1|?|PF2|=（|PF1|+|PF2|）2﹣（|PF1|2+|PF2|2）=100﹣64=36．解得|PF1|?|PF2|=9．而S=|PF1|?|PF2|=|F1F2|?|PH|，∴|PH|==．故选：D．7.从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有A.种 B. C.种 D.种参考答案：B8.设全集，则()

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知函数的定义域为M，的定义域为N，则M()A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.已知非零向量、，满足，则函数是

A.既是奇函数又是偶函数

B.非奇非偶函数

C.偶函数

D.奇函数参考答案：C因为，所以，所以，所以为偶函数，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则

．

参考答案：略12.已知，，则的值=

。参考答案：略13.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为

；参考答案：14.设其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则:①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图像不相交.以上结论正确的是

（写出所有正确结论的编号）参考答案：【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．C5

C3【答案解析】①③

解析：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）且，∴2×+θ=kπ+，∴θ=kπ+∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）对于①=±sin（2×+）=0，故①对；对于②，=sin（），|f（）|=sin（），∴，故②不正确；对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③对；对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对；对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错.故答案为：①③．【思路点拨】先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．15.已知函数，若的四个根为，且,则=

．参考答案：216.（5分）（2015?万州区模拟）平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．下列函数：①f（x）=sinπx；②f（x）=π（x﹣1）2+3；③；④f（x）=log0.6（x+1）；⑤，其中是一阶格点函数的有．（填上所有满足题意的函数的序号）参考答案：②④【考点】：对数函数的图像与性质；正弦函数的图象．【专题】：新定义；探究型．【分析】：由定义对四个函数逐一验证，找出只有一个整数点的函数即可，①中的函数图象与横轴交点都是整点；②中的函数只有当x=1时才是整点；③中的函数可以验证横坐标为，1，2，④中的函数只有当x=0时才能取到整点；⑤中的函数验证x=0，x=2即可排除；【解答】：，①中的函数图象与横轴交点都是整点，故不是一阶格点函数；②中的函数只有当x=1时才是整点，故是一阶格点函数；③中的函数当横坐标为，1，2时函数值分别为3，1，故不是一阶格点函数；④中的函数只有当x=0时才能取到整点，故是一阶格点函数；⑤中的函数当x=0，x=2时函数值分别为﹣1，1，故不是一阶格点函数；故答案为②④【点评】：本题考查新定义，求解此类题的关键是对新定义作出正确的理解，以及对所给的几个函数的性质与图象有着比较清晰的记忆．17.双曲线的离心率为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲如图，是直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.（1）求证：、、、四点共圆；（2）求证：参考答案：.证明：（1）连接、，则

又是BC的中点，所以

又，

所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

所以

所以、、、四点共圆

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）延长交圆于点

因为.。。。。。。。。。。。7分所以所以。。。。。。。。。。。。。。。。。10分略19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，，求b.参考答案：(1)(2)或5.【分析】（1）利用降幂公式和正弦定理可把题设条件转化为，从而得到，再根据同角的三角函数的基本关系式可求.（2）利用余弦定理渴求b.【详解】解：（1）由题意知，化简得，由正弦定理得，因为，所以，且为内角，即.（2）由余弦定理得，所以，所以，所以或5.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.20.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为.（I）求数列的通项公式.（II）若，求数列的前n项和.参考答案：21.已知函数f（x）=a﹣﹣lnx．（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）=0恰有一个解，求a的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）导数值即为该点处的斜率，点斜式可得切线方程．（2）f（x）max=f（1）=a﹣1，分类讨论，即可求得a的值．【解答】解：（1）∵a=2，∴f（1）=1．∵f′（x）=，∴f′（1）=0，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；（2）f′（x）=，∴f′（x）=0，x=1，0＜x＜1，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增；x＞1，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；∴f（x）max=f（1）=a﹣1．①f（x）max=0，a=1时，最大值点唯一，符合题意；②f（x）max＜0，即a＜1，f（x）＜0恒成立，符合题意；③f（x）max＞0，即a＞1，ea＞1f（ea）=﹣e﹣a＜0，∵e﹣a＜1，f（e﹣a）=2a﹣ea≤ea﹣ea＜0，则f（x）有两个零点，不符合题意综上所述，a=1．22.设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，且在区间内存在极值，求整数的值.参考答案：解：（Ⅰ）由已知.

…………（1分）

当时，函数在内单调递增；………（2分）

当时，由得∴；……………（3分）由得∴.……（4分）

∴在内单