上海市闸北第五中学高三数学理模拟试卷含解析

上海市闸北第五中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+b与-b垂直，则的值为

A.

B.

C.

D.2参考答案：答案:A2.甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定 B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定 D．＞，乙比甲成绩稳定参考答案：B考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由茎叶图可得原式数据，可得各自的平均值和方差，比较可得结论．解答：解：由题意可知甲的成绩为：72，77，78，86，92，乙的成绩为：78，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成绩稳定．故选：B点评：本题考查茎叶图，考查平均值和方差，属基础题3.已知x，y满足约束条件则z＝的最小值为（

）A.

B.

C.

4

D.

－参考答案：A4.函数在上的图象大致为参考答案：C略5.设{an}是等比数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 参考答案：C【考点】等比数列的通项公式． 【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 【分析】设等比数列{an}的公比为q． A．由a1+a2＞0，可得a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q），即可判断出正误； B．由a1+a3＜0，可得a1（1+q2）＜0，由a1＜0．则a1+a2=a1（1+q），即可判断出正误； C．由0＜a1＜a2，可得0＜a1＜a1q，因此a1＞0，q＞1．作差2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2，即可判断出正误； D．由a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2，即可判断出正误． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q． A．∵a1+a2＞0，∴a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q）＜0，因此不正确； B．∵a1+a3＜0，∴a1（1+q2）＜0，∴a1＜0．则a1+a2=a1（1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正确； C．∵0＜a1＜a2，∴0＜a1＜a1q，∴a1＞0，q＞1．则2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2＜0，因此正确； D．∵a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2可能相应等于0或大于0，因此不正确． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.计算得

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.已知某几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出数据，这个几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A

8.已知i是虚数单位，是全体复数构成的集合，若映射R满足:对任意，以及任意R,都有,则称映射具有性质.给出如下映射:①R,,iR;②R,,iR;③R,,iR;其中,具有性质的映射的序号为A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③参考答案：B9.若实数x、y满足，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是．参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

．参考答案：4略12.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足且的必要不充分条件,则实数的取值范围是

.参考答案：（-∞，-4】略13.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=______.参考答案：8略14.已知数列{an}满足，，则

．参考答案：由，同时除以可得.即是以为首项，为公差的等差数列.所以，即.故答案为：.

15.已知2a＝5b＝，则＝＿＿＿参考答案：216.如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则?的最小值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，，设=t≥0．可得?=?=t2﹣t=﹣，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，，设=t≥0．∴?=?=﹣=t2﹣t=﹣．当t=时取等号，∴?的最小值为﹣．故答案为：．17.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；

②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；

④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是．参考答案：②④考点： 函数的图象．

专题： 新定义；数形结合；函数的性质及应用．分析： 利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．解答： 解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①M={（x，y）|y=}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；对于③M={（x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；对于④M={（x，y）|y=ex﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=ex﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=ex﹣2}是“垂直对点集”．故答案为：②④点评： 这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；（Ⅲ）证明：当时，．参考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因为，所以．

………………8分（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．…………9分事实上，当时，．下面证明．法一：对任何，………………10分……11分…………12分所以．…………13分法二：对任何，当时，；………10分当时，综上，．

………13分略19.(12分)曲线C是中心在原点，焦点为的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是．（１）求曲线C的方程；（２）已知点，若直线与曲线C交于不同于点E的P、R两点，且，求证：直线过一个定点，并求出定点的坐标．

参考答案：解析：（1）设C：

（≥，＞0，＞0）

则

∴

--------------4分（2）①当不垂直x轴时，设：，，

由∵

-------------------6分由＝化简得：

-------------------9分（此时过点E，不合题意，舍去）--------------10分．-------------------11分②当垂直x轴时，∵又．----------------------12分20.已知函数，.（1）当时，若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；（2）当时，证明：.参考答案：（1）由，得.整理，得恒成立，即.令.则.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数的最小值为.∴，即.∴a的取值范围是.（2）∵为数列的前n项和，为数列的前n项和.∴只需证明即可.由（1），当时，有，即.令，即得.∴.现证明，即.现证明.构造函数，则.∴函数在[1,+∞)上是增函数，即.∴当时，有，即成立.令，则式成立.综上，得.对数列，，分别求前n项和，得.21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，为圆的直径，为圆的切线，点为圆上不同于的一点，为的平分线，且分别与交于，与圆交于，与交于，连接．（1）求证：平分；（2）求证：．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.考点：1