江苏省泰州市姜堰张甸中学高三数学理期末试题含解析

江苏省泰州市姜堰张甸中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某汽车的使用年数x与所支出的维修费用y的统计数据如表：使用年数x（单位：年）12345维修总费用y（单位：万元）0.51.22.23.34.5根据上表可得y关于x的线性回归方程=x﹣0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年参考答案：D【分析】计算、，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限．【解答】解：计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.5+1.2+2.2+3.3+4.5）=2.34；代入回归方程=x﹣0.69得2.34=×3﹣0.69，解得=1.01；∴回归方程为=1.01x﹣0.69，令=1.01x﹣0.69≥10，解得x≥10.6≈11，据此模型预测该汽车最多可使用11年．故选：D．2.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（） A．y=sinx B． y=﹣x2+ C． y=﹣x3 D． y=e|x|参考答案：分析： 对选项根据函数的奇偶性和单调性，一一加以判断，即可得到既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数．解答： 解：对于A．y=sinx是奇函数，在（2k，2k）（k为整数）是单调递减，故A错；对于B．y=﹣x2，定义域为{x|x≠0，且x∈R}，但f（﹣x）=﹣x2﹣≠=﹣（﹣x2），则不是奇函数，故B错；对于C．y=﹣x3，有f（﹣x）=﹣f（x），且y′=﹣3x2≤0，则既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减，故C对；对于D．y=e|x|，有f（﹣x）=e|﹣x|=f（x），则为偶函数，故D错．故选C．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，判断单调性可用多种方法，证明时只能用单调性定义和导数法．4.已知集合，则A.

B.C.

D.参考答案：B5.设集合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D7.已知向量=（m﹣1，2），=（m，﹣3），若⊥，则实数m等于（）A．2或﹣3 B．﹣2或3 C． D．3参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由⊥可得?=0，结合向量的数量积计算公式可得m（m﹣1）+2×（﹣3）=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，量=（m﹣1，2），=（m，﹣3），若⊥，则有?=0，即m（m﹣1）+2×（﹣3）=0，解可得m=﹣2或3；故选：B．8.（5分）（2015?嘉峪关校级三模）设某几何体的三视图如图（单位m）：则它的体积是（）A．4m3B．8m3C．4m3D．8m3参考答案：A【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为3+1=4m，底面的高，即为三视图的宽3m，故底面面积S=×3×4=6m2，棱锥的高即为三视图的高，故h=2m，故棱锥的体积V=Sh=4m3，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.执行下图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是

(

)A．870

B．30C．6

D．3参考答案：B10.若对任意的，存在实数a，使恒成立，则实数b的最大值为(

)A.9 B.10 C.11 D.12参考答案：A【分析】将不等式化为，令，，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若最大，则恒过且与相切；联立直线与方程，利用求出切线斜率，即为的值，从而求得的最大值.【详解】由时，恒成立可得：令，可得，图象如下图所示：要使最大，则必过，且与相切于点则此时，即直线方程为：联立得：，解得：由图象可知

本题正确选项：【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数________.参考答案：112.已知直线相切，则a的值为__________.参考答案：2略13.求=

。参考答案：14.（13分）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，1）∪{3}【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，转化为a+小于等于函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．【解答】：解：令y=|x+2|+|x﹣3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，∴原不等式可化为a+≤5，解得a=3或a＜1，故答案为：（﹣∞，1）∪{3}．【点评】：考查绝对值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．15.已知函数的最小正周期是

．参考答案：16.

参考答案：【知识点】对数的运算性质．B7【答案解析】3解析：原式=+lg2（lg2+lg5）+lg5=2+lg2+lg5=2+1=3．故答案为：3．【思路点拨】利用对数的换底公式、lg2+lg5=1即可得出．17.有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有

（填写所有正确命题的编号）．参考答案：②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且?=0，△GF1F2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、?=0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴e=，①∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，∴||+||=2a，②∵?=0，△GF1F2的面积为2，∴||2+||2=4c2，③，④联立①②③④，得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴．===，当且仅当时，取得最值．此时l：y=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．19.选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．参考答案：解：

（I）C1是圆，C2是椭圆.

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.

（II）C1，C2的普通方程分别为

当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为

当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为

…………10分20.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式：．参考答案：21.已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f（x）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m的范围．【解答】解：（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（II）=，x∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）