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文档简介
重庆綦江中学高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知正项数列中,,,,则等于(
)A.16
B.8
C.
D.4参考答案:B略2.已知数列的通项公式为,则当取最小值时,项数n为(
)
A.1
B.17
C.18
D.19参考答案:C略3.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则等于A.1
B.
C.
D.参考答案:C4.已知是虚数单位,,则=(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C5.若直角坐标平面内两点满足条件:①都在函数的图像上;②关于原点对称.则称点对是函数的一个“友好对点”(点对与看作同一个“友好对点”),已知函数,则函数的“友好对点”的个数为
(
)A.1
B.2
C.3
D.4参考答案:B6.在等差数列中,设为其前项和,已知,则等于(
)
A.
B. C. D.参考答案:A7.已知向量,向量,若与垂直,则(
)A.-1 B.1 C. D.参考答案:C【分析】利用坐标运算求得和,根据向量垂直关系可构造方程求得结果.【详解】由题意知:,与垂直
解得:本题正确选项:【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示,关键是明确向量垂直时,两个向量的数量积为零,属于基础题.
8.已知等差数列,首项,,则使数列的前n项和成立的最大正整数n是 A.2011 B.2012 C.4023 D.4022参考答案:D略9.下列四个不等式:①;②;③,④恒成立的是(
).A.3
B.2
C.1
D.0参考答案:B10.设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a等于()A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3参考答案:C【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值.【分析】对f(x)求导数,令f′(1)=3,即可求出a的值.【解答】解:∵f(x)=ax+3,∴f′(x)=a;又∵f′(1)=3,∴a=3.故选:C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(5分)把x=﹣1输入如图所示的流程图可得输出y的值是.参考答案:1∵框图的作用是计算分段函数的值y=,∴当x=﹣1时,不满足条件x<0,故y=1.故答案为:1.12.数列,若,则___________.参考答案:13.从中,可得一般规律为
.参考答案:14..过双曲线:的右顶点A作斜率为1的直线,分别与两渐近线交于两点,若,则双曲线的离心率为
.参考答案:或
略15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,,,D是CC1的中点,则直线AC1与BD所成角的余弦值为__________.参考答案:16.二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是
.参考答案:略17.已知函数为的导函数,则的值为____.参考答案:3.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.参考答案:【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(I)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间;(II)先求出端点的函数值f(﹣2)与f(2),比较f(2)与f(﹣2)的大小,然后根据函数f(x)在[﹣1,2]上单调递增,在[﹣2,﹣1]上单调递减,得到f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值.【解答】解:(I)f′(x)=﹣3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<﹣1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞).(II)因为f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(﹣2).因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增,又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减,因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=﹣2.故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2,因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7.19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且椭圆C过点(2,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C与y轴负半轴的交点为B,如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E、F,且B,E,F构成以EF为底边,B为顶点的等腰三角形,判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系.参考答案:【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(I)由题可知c=2,又a2﹣b2=c2,将点(2,1)代入椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(II)设交点为E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点M的坐标为(xM,yM),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,可得M的坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得直线EF的方程,再求圆心到直线的距离,与班级比较,即可得到所求位置关系.【解答】解:(I)由题可知c=2,a2﹣b2=c2,将点(2,1)代入椭圆方程可得+=1,解得a=4,b=2,则椭圆C方程是+=1;
(II)设交点为E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点M的坐标为(xM,yM),由,得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,由题可知△=64k2﹣4(1+4k2)(﹣12)>0恒成立,x1+x2=﹣,x1x2=﹣,可得xM==﹣,yM==1+=,因为△BEF是以EF为底边,B为顶点的等腰角形,所以EF⊥BM.因此BM的斜率kBM=﹣,又点B的坐标为(0,﹣2),所以kBM==﹣,即﹣=﹣,解得k=±,故EF的直线方程为±x﹣4y+4=0,又因为圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线EF的距离d==>,所以直线EF与圆x2+y2=相离.20.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算:f=其中(单位:元)为托运费,ω为托运物品的重量(单位:千克),试写出一个计算费用算法,并画出相应的程序框图.参考答案:算法:第一步:输入物品重量ω;第二步:如果ω≤50,那么f=0.53ω,否则,f=50×0.53+(ω-50)×0.85;第三步:输出物品重量ω和托运费f.相应的程序框图.无21.已知函数.(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若,求f(x)的最大值.参考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)由题意分离参数,将原问题转化为函数求最值的问题,然后利用导函数即可确定实数的取值范围;(Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数,将其分解因式,利用导函数研究函数函数的单调性,最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值.【详解】(Ⅰ)由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.(Ⅱ)当时,.则,令,则,所以在上单调递减.由于,,所以存在满足,即.当时,,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.所以,因为,所以,所以,所以.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性,导数研究函数的最值,零点存在定理及其应用,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.
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