广东省汕头市澄海湾头中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省汕头市澄海湾头中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．2.若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣4，+∞） D．[﹣4，+∞）参考答案：A【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．【解答】解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了复合函数的单调性，关键是注意真数大于0，是中档题．3.下列函数中，为奇函数的是(

)A． B．f（x）=lnx C．f（x）=2x D．f（x）=sinx参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原点对称，∴A为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，定义域不关于原点对称，∴B为非奇非偶函数．C．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵，∴C不是奇函数．D．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x），∴D是奇函数．故选D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是判断的主要依据，注意要先判断函数的定义域是否关于原点对称．4.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°角．则其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a．∴△ADC为等边三角形，故②正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜，＞=，∴＜，＞=60°，故③正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故④不正确．故选：C5.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为0.3万元、0.2万元．甲、乙两种产品都需在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲产品设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙产品设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h、500h．则月销售收入的最大值为（A）50万元

（B）70万元

（C）80万元

（D）100万元参考答案：C6.设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[0，] B．[﹣，0] C．[﹣，1] D．[0，1]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】令y﹣x=n，x+1=m，把已知的不等式转化为关于m，n的不等式组，把s=转化为，作出关于m，n的约束条件的可行域后由斜率公式得答案．【解答】解：令y﹣x=n，x+1=m，则x=m﹣1，y=m+n﹣1，代入，得．作出可行域如图，s=化为．分别联立方程组，解得：A（2，﹣1），C（1，1）．∴的范围为．故选：C．7.已知数列{an}的通项为，我们把使乘积为整数的n叫做“优数”，则在内最大的“优数”为（）．A．510

B．512

C．1022

D．1024参考答案：C8.已知复数z满足，且，则z=（

）A.3 B.3i C.±3 D.±3i参考答案：C【分析】设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.

9.已知、是不同的平面，、是不同的直线，则下列命题不正确的是

若∥则.

若∥则∥

若∥，，则.

若则∥.参考答案：B10.若函数f（x）的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是x∈

（

）A．（0，1）

B．[0，2]

C．（2，3）

D．（2，4）

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_______.参考答案：，略12.已知和是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是(A)关于x的方程恰有四个不相等实数根的充要条件是(B)关于x的方程恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1](C)当m=l时，对成立(D)若成立，则参考答案：D13.圆关于直线对称的圆的方程为

；

参考答案：14.给出以下命题：①抛物线y=4x2的准线方程为y=﹣；②“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y都不为0”；③已知线性回归方程为=3+2x，当变量x增加2个单位时，其预报值平均增加4个单位；④命题ρ：“?x∈（0，+∞），sinx+≥2”是真命题．则所有正确命题的序号是_________．参考答案：①③15.圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是

．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．16.若实数、，满足，则的取值范围是

．参考答案：略17.若曲线表示双曲线，则的取值范围是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.多面体ABCDEF中，，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.参考答案：（1）证明：取的中点，连接因为分别是的中点，所以在菱形中，，在中，又，所以，，所以平面平面，平面，所以平面.（2）证明：连结，是边长为2的等边三角形，所以，，四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴又，所以平面平面，所以平面平面.19.已知函数（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．参考答案：解：（Ⅰ），………………1分于是，根据题设有解得或

……3分当时，，，所以函数有极值点；

………………4分当时，，所以函数无极值点．…………5分所以．…………6分（Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分所以对任意，都成立．8分因为,所以在上为单调递增函数或为常数函数，

………9分所以对任意都成立，即.

……11分又，所以当时，，……………12分所以，所以的最小值为．

………………13分法二：对任意，都成立，……………7分即对任意，都成立，即．

…………8分

令，……………9分当时，，于是；………10分当时，，于是，．……11分又，所以．

………………12分综上，的最小值为． ………………13分略20.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案：解：（1）∵是等边三角形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）中，易求，，得中，易求，得设三棱锥的体积为，点到平面的距离为.则，得，.21.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点。

（I）证明：平面；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小。参考答案：解析：（I）证明：连结交于，连结

底面是正方形，点是的中点，

在中，是中位线，，

而平面且平面，所以，平面（Ⅱ）证明：底面且底面，，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线。

①同样由底面得底面是正方形，有平面。而平面

②由①和②推得平面而平面又且，所以平面（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，故是二面角的平面角由（2）知，设正方形的边长为，则

在中，在中，所以，二面角的大小为方法二；如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标