2完整版本.6-圆形镜共焦腔的自再现模和行波场-20200318

2.6圆形镜对称共焦腔的自再现模圆形镜对称共焦腔是由两块相同的圆形球面镜组成。圆形镜共焦腔的处理方法与方形镜相似，只是由于反射镜的孔径为圆形。采用极坐标系统(r,

)来讨论其光场分布和传播。积分方程的精确解析解是超椭球函数。拉盖尔—高斯近似当腔的菲涅耳数N足够大时，圆形镜共焦腔的自再现模为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积。Cmn为与模式有关的归一化常数；w0s为镜面上基模光斑半径。cosm

和sinm

因子任选一个，但当m=0时，只能取cosm

因子，否则将导致整个式子为零。为缔合拉盖尔多项式与相应的本征值为：

基模振幅分布为(一)镜面上的场分布①振幅分布上式为实函数，它实际上就是镜面上光场振幅的分布函数。基模在镜面上的振幅分布也是高斯型的，整个镜面上没有场的节线，在镜中心处振幅最大。当基模振幅下降到中心值的1/e

处与镜面中心的距离为镜面上基模光斑半径与方形镜共焦腔完全一样。

高阶模高阶模振幅分布出现节线或节圆，场分布具有圆对称形式。高阶模TEMmn的m

表示沿辐角ϕ方向的节线数；n表示沿半径r方向的节圆数；各节圆沿r

方向并不是等距分布的。高阶模的光斑随着m,n的增加而增大，在圆形镜系统中光斑半径随m的增大要比随n的增大来得更快。

相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面

单程相移与方形镜的情况相似，高阶模的光斑随着m,n的增加而增大，其光斑半径无解析表达式。表给出了几个高阶模的镜面光斑半径wmns的计算结果。圆形镜共焦腔中自再现模在腔内单程渡越的总相移为

谐振频率共焦腔模的谐振条件为此可求出圆形镜共焦腔模的谐振频率为圆形镜共焦腔模在频率上也是高度简并的，如TEMmnq,TEM(m+2)n(q-1),TEM(m+2)(n+1)(q-1)等模式的谐振频率都相同。属于同一横模的相邻两个纵模之间的频率间隔为属于同一纵模的相邻两个横模之间的频率间隔为横模参数对频率的影响不可忽略。

单程衍射损耗模的单程损耗为即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是在N–>∞的情况下得到的。当N为有限(但不太小)时，拉盖尔-高斯近似能满意地描述场分布及相移等特征，但却不能用来分析模的损耗。只有精确解才能给出共焦模的损耗与N及横模指标m和n的关系福克斯和厉鼎毅用迭代法给出圆形镜共焦腔几个最低阶模的损耗。与方形镜共焦腔模的损耗比较，当菲涅耳数相同时，它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要大。（二）圆形镜共焦腔行波场在拉盖尔—高斯近似下，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可求出由一个镜面上的场所产生的圆形镜共焦腔的行波场圆形镜共焦腔行波场特性的分析方法与方形镜共焦腔相同，两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径以及光束发散角都完全相同。小结：

在N>>1时,共焦腔的自再现模能以厄米~高斯或拉盖尔~高斯函数近似描述：镜面上基模或其它高阶横模的振幅、相位分布、光斑尺寸和模体积、单程相移和谐振频率、单程损耗、等相位面的分布、基模光束的远场发散角，这些特征都能以解析解的形式表达。

共焦腔光束的基本特征唯一地由共焦参数f决定,与反射镜的尺寸a

无关。参数f或w0是表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅尔数N决定，不同横模的损耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低，易于调整，有模简并，基模体积小。严格的对称共焦腔只是一种理想情况。菲涅尔-基尔霍夫衍射积分xy镜面上的场分布总结一对称共焦腔的自再现模方形镜共焦腔自再现模积分方程具有严格的解析函数解。它们是一组特殊定义的长椭球函数，并且当腔的菲涅耳数足够大时，可近似表示为厄米-高斯函数的形式。圆形镜共焦腔本征函数的解为超椭球函数。在腔的菲涅耳数足够大时，可近似表示为拉盖尔-高斯函数的形式。二菲涅尔-基尔霍夫衍射积分xy镜面上的场分布

（坐标原点，相位原点）共焦腔内任意点的场共焦腔外任意点的场行波场驻波场行波场腔内和腔外场分布

（坐标原点，相位原点）三方形球面镜共焦腔行波场的振幅分布为基模共焦场在任一z坐标处的横截面内都是高斯分布m=n=0四等相位面x2+y2<<R2(z)证明共焦腔焦参数五

单程衍射损耗六

单程相移共焦腔模的谐振条件为此可求出共焦腔模的谐振频率为高阶模的特点方形镜共焦腔，可近似表示为厄米-高斯函数的形式TEM03TEM11TEM31TEM00TEM10TEM20圆形镜共焦腔，可近似表示为拉盖尔-高斯函数的形式。七高阶模的发散角随模阶次m,n而增大，多模