非平稳序列的随机分析

非平稳序列的随机分析本章结构确定性趋势模型和随机趋势模型ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型第2页,共122页，2024年2月25日，星期天4.1确定性趋势和随机趋势模型确定性趋势随机趋势第3页,共122页，2024年2月25日，星期天确定性趋势所谓确定性趋势（deterministictrend），是指模型中含有明确的时间t变量，趋势可以有t的线性函数表示。例如：确定性趋势模型又称“均值非平稳模型”、“趋势平稳模型”。确定性趋势模型剔除趋势项即为平稳模型。如上例：第4页,共122页，2024年2月25日，星期天随机趋势模型随机趋势模型常被称为单位根过程，模型中AR项含有成分（1-B），典型例子是随机游走模型。随机趋势模型又称“差分平稳模型”，可以通过差分剔除趋势，使模型平稳化。如对随机游走模型：第5页,共122页，2024年2月25日，星期天趋势模型的比较确定性趋势模型表现在均值的非平稳。随机趋势模型中，每个随机干扰项对条件均值的影响是持久的。模型的方差非平稳。对不同的非平稳模型，应使用不同的平稳化方法。对于同一模型，两种趋势可能兼而有之。第6页,共122页，2024年2月25日，星期天差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

第7页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.1【例4.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

第8页,共122页，2024年2月25日，星期天差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图第9页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息第10页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列时序图一阶差分二阶差分第11页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

第12页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分第13页,共122页，2024年2月25日，星期天过差分

足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费

第14页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差第15页,共122页，2024年2月25日，星期天比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大第16页,共122页，2024年2月25日，星期天4.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型第17页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构第18页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel第19页,共122页，2024年2月25日，星期天随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？第20页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例4.5ARIMA(0,1,0)时序图第21页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性第22页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型第23页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

第24页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分序列时序图第25页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分序列自相关图第26页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344第27页,共122页，2024年2月25日，星期天拟合ARMA模型偏自相关图第28页,共122页，2024年2月25日，星期天建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著第29页,共122页，2024年2月25日，星期天ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式第30页,共122页，2024年2月25日，星期天预测值第31页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

第32页,共122页，2024年2月25日，星期天预测值等价形式计算预测值第33页,共122页，2024年2月25日，星期天计算置信区间Green函数值方差95％置信区间第34页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

第35页,共122页，2024年2月25日，星期天疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。第36页,共122页，2024年2月25日，星期天疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为第37页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

第38页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分第39页,共122页，2024年2月25日，星期天自相关图第40页,共122页，2024年2月25日，星期天偏自相关图第41页,共122页，2024年2月25日，星期天建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著第42页,共122页，2024年2月25日，星期天季节模型简单季节模型乘积季节模型

第43页,共122页，2024年2月25日，星期天简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

第44页,共122页，2024年2月25日，星期天例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

第45页,共122页，2024年2月25日，星期天差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

第46页,共122页，2024年2月25日，星期天白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001第47页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列自相关图第48页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列偏自相关图第49页,共122页，2024年2月25日，星期天模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计第50页,共122页，2024年2月25日，星期天模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001第51页,共122页，2024年2月25日，星期天拟合效果图第52页,共122页，2024年2月25日，星期天 传统季节分析方法基于季节分量是确定性变量，且与其他非季节分量独立。季节分量也可以是随机的，且与非季节分量相关，随机ARIMA模型推广到季节时间序列，形成季节ARIMA模型，有时简记为SARIMA模型。乘积季节模型第53页,共122页，2024年2月25日，星期天设序列存在规则的周期（S），如果把原序列按周期重新排列，即可得到一个二维列联表。乘积季节模型第54页,共122页，2024年2月25日，星期天含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。季节型模型的ARMA表达形式为这里

乘积季节模型第55页,共122页，2024年2月25日，星期天不独立，不妨设

则有

为白噪声；

乘积季节模型最终的模型形式为：第56页,共122页，2024年2月25日，星期天乘积季节模型这里表示不同周期的同一周期点上的相关关系；

则表示同一周期内不同周期点上的相关关系。

第57页,共122页，2024年2月25日，星期天乘积季节模型从结构上看，它是季节模型与ARIMA模型的结合形式，称之为乘积季节模型。常用的两个模型

记为：第58页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

第59页,共122页，2024年2月25日，星期天差分平稳一阶、12步差分第60页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列自相关图第61页,共122页，2024年2月25日，星期天差分后序列偏自相关图第62页,共122页，2024年2月25日，星期天简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著第63页,共122页，2024年2月25日，星期天乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计第64页,共122页，2024年2月25日，星期天模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著第65页,共122页，2024年2月25日，星期天乘积季节模型拟合效果图第66页,共122页，2024年2月25日，星期天4.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

第67页,共122页，2024年2月25日，星期天Auto-Regressive模型结构第68页,共122页，2024年2月25日，星期天对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值第69页,共122页，2024年2月25日，星期天对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型第70页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

第71页,共122页，2024年2月25日，星期天趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

第72页,共122页，2024年2月25日，星期天趋势拟合效果图第73页,共122页，2024年2月25日，星期天残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质第74页,共122页，2024年2月25日，星期天Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

第75页,共122页，2024年2月25日，星期天DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系第76页,共122页，2024年2月25日，星期天DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042第77页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第78页,共122页，2024年2月25日，星期天DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001第79页,共122页，2024年2月25日，星期天Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验第80页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第81页,共122页，2024年2月25日，星期天Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025第82页,共122页，2024年2月25日，星期天残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验第83页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合第84页,共122页，2024年2月25日，星期天残差序列自相关图第85页,共122页，2024年2月25日，星期天残差序列偏自相关图第86页,共122页，2024年2月25日，星期天模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径第87页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果第88页,共122页，2024年2月25日，星期天三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987第89页,共122页，2024年2月25日，星期天4.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

第90页,共122页，2024年2月25日，星期天异方差直观诊断残差图残差平方图第91页,共122页，2024年2月25日，星期天残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图第92页,共122页，2024年2月25日，星期天残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

第93页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

第94页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分后残差图第95页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分后残差平方图第96页,共122页，2024年2月25日，星期天异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型第97页,共122页，2024年2月25日，星期天4.5方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性第98页,共122页，2024年2月25日，星期天转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定第99页,共122页，2024年2月25日，星期天常用转换函数的确定假定转换函数的确定第100页,共122页，2024年2月25日，星期天例4.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换第101页,共122页，2024年2月25日，星期天对数序列时序图第102页,共122页，2024年2月25日，星期天一阶差分后序列图第103页,共122页，2024年2月25日，星期天白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452第104页,共122页，2024年2月25日，星期天拟合模型口径及拟合效果图第105页,共122页，2024年2月25日，星期天4.6条件异方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型第106页,共122页，2024年2月25日，星期天ARCH模型假定原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数

ARCH(q)模型结构第107页,共122页，2024年2月25日，星期天GARCH模型结构使用场合ARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程