金属塑性变形的力学基础

金属塑性变形的力学基础塑性理论(塑性力学)：研究金属在塑性状态的力学行为假设：

1、变形体连续：可保证应力、应变、位移等连续

2、变形体均质且各向同性：可保证微元体的物理性质不变

3、变形瞬间力平衡：可导出平衡方程

4、忽略体积力：可使计算简化第2页,共106页，2024年2月25日，星期天第一节：金属塑性成形过程的受力分析第二节：变形体内一点的应力状态分析第三节：变形体内质点的应变状态分析第四节：屈服准则第五节：塑性变形的应力应变关系第六节：金属材料的实际应力应变曲线第3页,共106页，2024年2月25日，星期天第一节金属塑性成型过程的受力分析

1、面力（接触力）

作用力（拉、压、剪切）反作用力（工具对金属作用）摩擦力第4页,共106页，2024年2月25日，星期天

2、体积力（质量力）

重力磁力惯性力第5页,共106页，2024年2月25日，星期天第二节变形体内一点的应力状态分析

点的应力状态

一、应力分析的截面法应力：单位面积上的内力。单向拉伸时任意斜面上的应力

全应力S=

ocos

正应力

=

ocos2

切应力

=0.5

osin2

第6页,共106页，2024年2月25日，星期天二、三维坐标系中的应力分量和应力张量

第7页,共106页，2024年2月25日，星期天

x

xy

xz

yx

y

yz作作作用用用方方方向向向为为为XYZ

zx

zy

z

1）σi、τij

的命名规则2）截面正负，与应力分量的正负3）

切应力互等定理4）九个应力分量有六个独立，能完全确定一个应力状态5）应力分量能在不同的坐标系之间进行转换作用面为X作用面为Y作用面为ZNOTE:第8页,共106页，2024年2月25日，星期天

x

xy

xz

ij=

yx

y

yz

zx

zy

z

应力张量

式中：

1）

ij

是二阶张量的缩写记号

2）

ij

为二阶对称张量

3）张量可以合并、分解；有主方向，有主值及不变量

4〕张量可以利用圆柱坐标/球坐标表达第9页,共106页，2024年2月25日，星期天三、任意斜面上的应力第10页,共106页，2024年2月25日，星期天Sx=

xl+

yxm+

zxn

Sy=

xyl+

ym+

zynSz=

xzl+

yzm+

zn

SxSy=(lmn)

ijSz

S2=S2x+S2y+S2z

=Sxl+Sym+Szn=

xl2+

ym2+

zn2+2(

xylm+

yzmn+

zxnl)

2=S2-

2第11页,共106页，2024年2月25日，星期天

四、主应力和应力不变量1.主应力：主平面上：

=0

=S

故

Sx=Sl=

l

Sy=Sm=m

Sz=Sn=

n代入（2-6）得齐次线性方程（

x-

）l+

yxm+

zxn=0

xyl+（

y-

）m+

zyn=0(2-9)

xzl+

yzm+（

z-

）n=0且l2+m2+n2=1(2-10)

得到应力状态的特征方程

3-J1

2-J2

-J3=0三实根即为σ1、σ2、σ3将σ1、σ2、σ3代入（2-9）中任意两式并与（2-10）联解，即可求的三个正交的主方向求非零解，则△=0（2-11）展开行列式△，且设J1=

x+

y+

z

zx

x

yx

y

zy

xJ2=—++

z

xy

y

yz

z

xzJ3=

Tij第12页,共106页，2024年2月25日，星期天2.应力张量不变量J1=

x+

y+

z

zx

x

yx

y

zy

xJ2=—++

z

xy

y

yz

z

xzJ3=

Tij主轴坐标系：σ100σij＝0

σ2000σ3J1、J2、J3为定值，不随坐标而变第13页,共106页，2024年2月25日，星期天3.应力椭球面主坐标系中点的应力状态的几何表达对一个确定的应力状态，任意斜面上全应力矢量S的端点必然在椭球面上第14页,共106页，2024年2月25日，星期天4.主应力图只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图第15页,共106页，2024年2月25日，星期天例题已知点的应力状态如图所示，请求出主应力和主方向（应力单位：MPa）第16页,共106页，2024年2月25日，星期天五、主切应力和最大的切应力1、主切应力

主切应力：主切应力平面σ1、σ2、σ3为坐标轴（主轴坐标系）设任意斜面法矢为l,m,n则该面上的切应力由（2-8a）得

2=S2-

2=

21l2+

22m2+

23n2-(

1l2+

2m2+

3n2)2

以n2=1-l2-m2代入上式，分别对l,m,求偏导数并令其为零，设σ1>σ2>σ3，经化简得：

l{(

1-

3)-2[(

1-

3)l2+(

2-

3)m2]}=0m{(

2-

3)-2[(

1-

3)l2+(

2-

3)m2]}=0

联立l2+m2+n2=1，可得三组方向余弦。同理，消去l或m，还可解出另外三组方向余弦。

第17页,共106页，2024年2月25日，星期天第18页,共106页，2024年2月25日，星期天

12=＋（

1-

2）/2

23=＋（

2-

3）/2

31=＋（

3-

1）/22、主切应力平面上的正应力为

12=（

1+

2）/2

23=（

2+

3）/2

31=（

3+

1）/2

NOTE:1）.若

1=

2=

3=+

，即球应力状态时，主切应力为零即：

12=

23=

31=02）若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切应力值将保持不变。

3）

m=(

1+

2+

3)/3=(

x+

y+

z)/3=J1/3第19页,共106页，2024年2月25日，星期天六、应力球张量和应力偏张量1、应力张量的分解第20页,共106页，2024年2月25日，星期天应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：第21页,共106页，2024年2月25日，星期天2、应力球张量和应力偏张量

对于σijˊ(应力偏张量)亦有：J2ˊ、J3ˊ仿J2、J3得出Note:1.J1ˊ=0，应力分量中已无静水应力成分

2.J2ˊ与屈服准则有关

3.J3ˊ决定了应变类型（J3ˊ=0属于平面应变；

J3ˊ<0属于压缩类应变；

J3ˊ>0属于伸长类应变）第22页,共106页，2024年2月25日，星期天七、八面体应力和等效应力

1、八面体应力

8

八面体应力：就是平均应力，即球张量，是不变量。

8则与应力球张量无关，反映了三个主切应力的综合效应，与应力偏量第二不变量有关。

8=

m=(

1+

2+

3)/3=(

x+

y+

z)/3=J1/3

8=[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]1/2/3

第23页,共106页，2024年2月25日，星期天

2、等效应力特点：是一个不变量。在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力讨论：1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。

2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效

3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。

4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。第24页,共106页，2024年2月25日，星期天八、应力平衡微分方程直角坐标中一点邻区的应力平衡第25页,共106页，2024年2月25日，星期天

圆柱坐标下质点的应力平衡微分方程：直角坐标系中质点的应力平衡微分方程式：

物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。第26页,共106页，2024年2月25日，星期天九、平面问题的应力状态和轴对称应力状态

1、平面应力状态特点：①某一作用面（如Ｚ面）上的应力为零，应力为零的方向为主方向。②所有应力沿Ｚ向均布。即应力分量与Ｚ轴无关，对Ｚ轴的偏导数为零。应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。第27页,共106页，2024年2月25日，星期天平面应力状态的应力张量为：

应力平衡微分方程：

三个不变量：J1=σx+σy；

J2=—σxσy+

τ2xy；J3=0主应力：

1

=[(

x+

y)/2]+{[(

x-

y)/2]2+

2xy}1/2

2

主切应力：

NOTE:Ｚ向无应力，但是有应变；仅在纯剪切时Ｚ向才没有应变。第28页,共106页，2024年2月25日，星期天2、平面应变状态下的应力状态

变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。特点：①不产生变形的方向为主方向（设为Ｚ），即

zx=

zy=0,

z

为主应力

②对于弹变σz=υ(σx＋σy)；对于塑变σz=(σx＋σy)/2=σm

③所有应力分量沿Ｚ轴均布；即与Ｚ轴无关，对Ｚ轴的偏导数为零。第29页,共106页，2024年2月25日，星期天平面应变状态的应力张量为：

σxτxy0(σx-σy)/200σm00σij=τyxσy0=0(σy-σx)/20+0σm000σz00000σm

σ100(σ1–σ2)/200σm00=0σ20=0(σ2–σ1)/20+0σm000(

1+

2)/200000σm

Note：1.平均应力

m=(

x+

y)/2=(

1+

2)/22.平面应变状态的应力偏张量为纯剪切状态。

3.最大切应力和主切应力

12=+(

1-

2)/2=

max；

23=

31=+(

1-

2)/44.平面应变状态下最大切应力所在的平面与变形平面上的两个主平面交成45°角。这是建立平面应变滑移线理论的重要依据。

5.平面应变状态的应力平衡微分方程，变形平面中斜面上的应力和主应力均与平面应力状态的形式相同。

第30页,共106页，2024年2月25日，星期天

3、轴对称应力状态

特点：①子午面在变形过程中始终不会扭曲，故

面上无切应力，即τθρ=τθz=0

且τθ

为主应力。②各应力分量与

坐标无关，对

的偏导数均为零。第31页,共106页，2024年2月25日，星期天

采用圆柱坐标系时，轴对称应力状态的应力张量为：

轴对称应力状态的应力平衡微分方程式：

注：圆柱体的平砧均匀镦粗、圆柱体坯料的均匀挤压和拉拔等，其径向和周向正应力分量相等，即σρ=

σθ，

则仅三个独立分量，上式还可简化。

第32页,共106页，2024年2月25日，星期天1、平面应力状态的莫尔圆十、应力莫尔圆——表示点的应力状态莫尔圆圆心：半径：

由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：

可写出主应力的方向与Ｘ轴的夹角α只有在σ1和σ2的大小相等方向相反的时候τ12才是最大切应力第33页,共106页，2024年2月25日，星期天第34页,共106页，2024年2月25日，星期天2、三向应力莫尔圆

注：①每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力σ和切应力τ的变化规律。②三个圆所围绕的面积内的点，表示l、m、n都不等于零的斜切面上的正应力σ和切应力τ的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。第35页,共106页，2024年2月25日，星期天3、平面应变状态下的莫尔圆

①三个主应力为：

1

、

2、

3=(1

+

2)/2=

m②把纯切应力莫尔圆的圆心右移

3的距离即可得到平面应变状态下的莫尔圆。③因此，平面应变状态下的应力张量是纯切应力张量叠加球张量。第36页,共106页，2024年2月25日，星期天第37页,共106页，2024年2月25日，星期天第三节变形体内质点应变状态分析

一、质点的应变状态

——变形体某一点在任意截面上的应变大小及方向。

1.位移及其分量说明：已知变形体内一点M的位移分量，则与其临近一点M’的位移分量可以用M点的位移分量及其增量来表示第38页,共106页，2024年2月25日，星期天2、线应变和切应变第39页,共106页，2024年2月25日，星期天3、应变分量和应变张量

单元体变形分析（六面体同时产生了线变形、切变形、刚体的平移和转动）第40页,共106页，2024年2月25日，星期天4、点的应变状态与应力状态相类比

①可以求出该点任意方向上的线应变εxεyεz和切应变γxyγyzγzx

②存在三个相互垂直的主方向，对应有主应变ε1

、ε2

、ε3

，应变状态特征方程。③存在三个应变张量不变量I1

、I2、I3，且塑性变形时体积不变I1=0④存在主切应变γ1、γ12、γ13

与主方向成45°角）⑤应变球张量和应变偏张量分别表示体积变化和形状变化⑥存在八面体应变和等效应变第41页,共106页，2024年2月25日，星期天二、位移分量和应变分量的关系——小变形几何方程小变形几何方程

第42页,共106页，2024年2月25日，星期天三、应变连续方程（应变协调方程）表明：在一个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就被确定。第二组连续方程：表明：在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就被确定。Note：（１）物理意义：仅当应变分量之间的关系满足上述方程时，物体变形后保续，否则就会出现“撕裂”或“重叠”。（２）仅在已知ui，则由几何方程求得的εij会自然满足连续方程。若用其他方法求得，则需被验证满足连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。

第一组连续方程：第43页,共106页，2024年2月25日，星期天四、应变增量和应变速率全量应变：单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小。

１、速度场和速度分量

物体内任一点，速度分量第44页,共106页，2024年2月25日，星期天

２、应变增量

Note：①应变增量也是二阶对称张量，记为或dεij②式中的d表示增量，不是微分符号。

以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变增量。

第45页,共106页，2024年2月25日，星期天

３、应变速率———变形速度

Note：①一点的应变速率也是一个二阶对称张量,记为或dεij/dt，其单位为S-1。②表示变形程度的变化快慢，不要与工具的移动速度相混同。③dεij

和dεij/dt都是张量,故具有张量的全部数理性质。④对于理想塑性材料（它对变形速度不敏感），用dεij

和用

dεij/dt计算的结果相同；但是对于超塑性材料（它对于

dεij/dt敏感），则应采用dεij/dt来计算。第46页,共106页，2024年2月25日，星期天在试验机上均匀压缩一柱体，下垫板不动，上垫板以速度u0下移，取下垫板为坐标原点，压缩方向为x轴第47页,共106页，2024年2月25日，星期天五、塑性变形程度的表达式

1、相对应变（1）相对伸长（2）相对断面收缩率2、对数应变（真实应变）反映了物体变形的实际情况，故又称为真实应变。第48页,共106页，2024年2月25日，星期天3、三种应变的关系（在出现缩颈之前的均匀拉伸状态）第49页,共106页，2024年2月25日，星期天4、对数应变的特点：①可加应变，具有叠加性。

结论：对数应变反映了变形的积累过程，而相对应变则不具有可加性。②可比应变，具有可比性。例如：试样拉长一倍后，再压缩到原长，有：③对数应变∈不具有坐标旋转的性质，仅能用于主应变方向不变的情况。故对数应变∈不是张量。第50页,共106页，2024年2月25日，星期天六、塑性变形体积不变条件体积变化率：

θ=(V1－V0)/V0=εx+εy+εz塑性变形时，由于材料连续且致密，体积变化很小，与形状变化相比可以忽略，故可假设其体积不变。①θ=εx+εy+εz=ε1+ε2+ε3=0（体积不变条件）②ε1，ε2，ε3中，绝对值最大的应变永远和另两个应变的符号相反，故塑性变形只能有三种类型。

第51页,共106页，2024年2月25日，星期天七、平面变形和轴对称变形的应变状态分析

１、平面变形（仅三个应变分量）

因为w=0,且各位移分量与Ｚ轴无关，故εz=γyx=γzx=0

于是平面应变问题的几何方程：

εx=эu/эx；εy=эv/эyγxy=(эu/эx+эv/эy)/2

需要特别指出:

平面变形时应变为零的方向的应力σz≠0，σz是主应力。且：σz=(σx+σy)/2=(σ1+σ2)/2=σm

第52页,共106页，2024年2月25日，星期天

２、轴对称问题（仅四个应变分量）

子午面（θ面）始终保持平面，故位移分量v=0，且各位移分量与θ轴无关，θ向必为应变主方向。故γρθ=γθz=0

轴对称问题的几何方程：

ερ＝Əu/Əρ;εz=Əw/Əz;εθ=u/ργzρ=(Əw/Əρ+Əu/Əz)/2

对于单向均匀拉伸、锥形模挤压拉拔、圆柱体镦粗，其径向位移分量u与坐标ρ成线性关系，于是有：

Əu/Əρ=u/ρ

从而ερ=εθ

导致σρ=σθ

（即径向应力和周向应力相等）第53页,共106页，2024年2月25日，星期天回顾并思考：塑性本构关系，两种理论，几种简化模型。第四节屈服准则

弹性变形→屈服→均匀塑性变形→塑性失稳→断裂1．单向拉伸试验：随着外载荷或强制应变的增加，会发生什么现象？2．应力增加到什么程度材料屈服？屈服条件，两种判别准则。3．材料发生屈服后如何？第54页,共106页，2024年2月25日，星期天

塑性力学解析法：工程法（主应力法）：滑移线法能量法（上限法）有限单元法（FEM—FiniteElementMethod）4．为什么？物理机制：位错运动受阻，空位扩散等。5．如何进行数值求解？第55页,共106页，2024年2月25日，星期天屈服准则

又称塑性条件(plasticconditions)或屈服条件(yieldconditions)，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。用屈服函数(yieldfunction)表示：第56页,共106页，2024年2月25日，星期天

一、Tresca屈服准则（最大切应力准则）回忆：二、Mises屈服准则第57页,共106页，2024年2月25日，星期天

1864年，法国工程师Tresca提出：材料的屈服与最大切应力有关，即当受力材料中的最大切应力达到某一定值K（剪切屈服强度）时，材料就发生屈服。并且，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。

第58页,共106页，2024年2月25日，星期天例：一个两端封闭的薄壁圆管如图所示，经受的内应力为p＝35MPa，薄壁管的平均半径为r＝300mm。

（1）如果材料的屈服应力σs＝700MPa，根据屈雷斯加准则，为了保证薄壁管处于弹性变形状态，管壁最小厚度应为多少？

（2）如果材料的剪切屈服强度K＝400MPa，根据屈雷斯加屈服准则，为了保证薄壁管处于弹性变形状态，管壁最小厚度应为多少？解:（1）先求应力分量(应用平衡条件)；（2）根据题意求解。第59页,共106页，2024年2月25日，星期天1913年，德国力学家Mises提出了另一个屈服准则，被称之为密席斯准则。密席斯准则：当等效应力达到某个定值时，材料即进行屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形时的性质，而与应力状态无关。第60页,共106页，2024年2月25日，星期天例：用Mises屈服准则解上例第61页,共106页，2024年2月25日，星期天主应力空间的屈服表面：*密席斯屈服表面：以ON为轴线，MP＝为半径作出的无限长倾斜圆柱面。

*屈雷斯加屈服表面：同理得到的内接于密席斯圆柱面的正六棱柱面。第62页,共106页，2024年2月25日，星期天三、屈服准则的几何表达

——屈服表面和屈服轨迹

1、主应力空间中的屈服表面

设某点P（

1；

2；

3）代表材料屈服时某点的应力状态，并可将OP分解为OM+MP。半径R=MP=作圆，则圆周上各点均进入屈服状态。对于等倾线ON上的各点，有

1=

2=

3，故M点处于静水应力状态，OM就代表了应力球张量；MP代表了应力偏张量。第63页,共106页，2024年2月25日，星期天屈服表面：屈服准则的数学表达式在主轴坐标系（主应力空间）中的几何图形。第64页,共106页，2024年2月25日，星期天屈服轨迹：屈服准则在主应力坐标平面上的几何图形。第65页,共106页，2024年2月25日，星期天在两个屈服轨迹的6个交点上，两准则一致。其中坐标轴上A,E,G,K四点为单向应力态；椭圆长轴上C,I两点表示

1=

2

两准则差别最大处有6个点B,D,F,H,J,L，两准则相差都为15.5%

2、两向应力状态的屈服轨迹Ｔ准则：（在

1-

2坐标平面上构成一个六边形）Ｍ准则：（在

1-

2坐标平面上构成一个椭圆）第66页,共106页，2024年2月25日，星期天３、П平面上的屈服轨迹

П平面：主应力空间中，过原点且垂直于等倾线ON的平面。该平面的方程为：

1+

2+

3=0Note：П平面上任一应力分量均为应力偏张量（该面上

m=0,无球张量的影响）三根主轴线上的点都表示单向应力状态（不含球张量的）。与主轴成30°交角的线上的点则表示纯剪切状态。

第67页,共106页，2024年2月25日，星期天四、中间主应力的影响

——屈服准则的简化

设σ1>σ2>σ3

，可知T准则为:|σ1－σ3|=σs

。

T准则：中间主应力σ2不影响材料屈服；

Ｍ准则：表明σ2对材料屈服有影响。

引入罗德（Lode）应力参数，当σ2在σ1∼

σ3间变化时，μσ在-1∼+1间变化。得到:

第68页,共106页，2024年2月25日，星期天代入M准则（式2-81），且设，整理得：

设Ｋ为屈服时的最大切应力，则有：

K=±(σ1－σ3)/2=β

s/2故两个屈服准则可以统一表达为：σ1－σ3=±2K式中按T准则，取K=0.5

s按M准则，取K=(0.5∼0.577)

s

|σ1－σ3|=β

s第69页,共106页，2024年2月25日，星期天比较两屈服准则的区别：（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值K

Mises：畸变能达到某极限（2）表达式不同;（3）几何表达不同：

Tresca准则：在主应力空间中为一垂直π平面的正六棱柱

Mises准则：在主应力空间中为一垂直于π平面的圆柱。

第70页,共106页，2024年2月25日，星期天比较两屈服准则的区别第71页,共106页，2024年2月25日，星期天两准则的联系：

（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在π平面上两准则有六点重合；（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两准则写成相同的形式：

其中称为中间主应力影响系数

称为Lode参数。第72页,共106页，2024年2月25日，星期天讨论：①当材料受单向应力时，β=1，两准则重合；②在纯剪应力作用下，两准则差别最大；按Tresca准则：按Mises准则：

③一般情况下，β=1－1.155

第73页,共106页，2024年2月25日，星期天五、硬化材料的屈服准则简介

硬化材料的屈服准则将发生变化，产生后续瞬时屈服表面和屈服轨迹。第74页,共106页，2024年2月25日，星期天假设：１、材料硬化后仍然保持各向同性。２、硬化后屈服轨迹的中心位置和形状保持不变，即：屈服准则的数学结构不变屈服准则可表示为：ƒ(

ij)=Ｙ对硬化材料，Ｙ是变量，变化规律有两种假设：１、单一曲线假设。Ｙ仅取决于材料的性质。２、能量条件假设。硬化取决于塑性变形功，与应力状态以及加载路线无关。第75页,共106页，2024年2月25日，星期天第五节塑性应力应变关系（本构关系）一、弹性应力应变关系———Hooke’sLaw

对于各向同性材料，有广义虎克定律：

式中Ｅ－弹性模量

υ－泊松比Ｇ－切变模量Ｇ＝Ｅ/2（1+υ）

其他表达式为：

第76页,共106页，2024年2月25日，星期天广义胡克定律的差比式：广义胡克定律的比例式：第五节塑性应力应变关系（本构关系）第77页,共106页，2024年2月25日，星期天弹性应力应变关系的特点应力与应变完全呈线性关系，应力主轴与应变主轴重合。弹性变形是可逆的，应力与应变单值对应。弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比υ＜0.5第五节塑性应力应变关系（本构关系）第78页,共106页，2024年2月25日，星期天例题有一金属块，在X方向作用有150MPa的压应力，在Y方向作用有150MPa的压应力，在Z方向作用有200MPa的压应力。试求此时金属块的单位体积变化率（设E＝207×103MPa，ν＝0.3）第79页,共106页，2024年2月25日，星期天二、塑性应力应变关系的特点塑性变形是不可逆的。对于应变硬化材料，与加载路线有关。塑性变形可认为体积不变，应变球张量为零，故泊松比υ=0.5应力与应变之间呈非线性关系。全量应变主轴与应力主轴一般不重合。塑性变形时的应力与应变之间不存在单值一一对应关系，而是与加载历史和加载路线有关。第五节塑性应力应变关系（本构关系）第80页,共106页，2024年2月25日，星期天第五节塑性应力应变关系（本构关系）第81页,共106页，2024年2月25日，星期天第82页,共106页，2024年2月25日，星期天第83页,共106页，2024年2月25日，星期天Note：一般情况下，只能建立起应力和应变增量之间的关系；仅在简单加载的条件下，应力主轴与应变主轴重合，才可以建立全量关系。第84页,共106页，2024年2月25日，星期天三、塑性变形的增量理论（流动理论）

１、列维一密席斯（Levy——Mises）理论假设：材料是理想刚塑性的，即弹性应变增量为零。材料符合Mises屈服准则每一加载瞬间，应力主轴和应变增量主轴重合；塑性变形时体积不变，即

所以第五节塑性应力应变关系（本构关系）第85页,共106页，2024年2月25日，星期天应变增量和应力偏量成正比。

即

-----瞬时正值比例常数第五节塑性应力应变关系（本构关系）列维一密席斯（Levy——Mises）理论列维－密席斯方程第86页,共106页，2024年2月25日，星期天

流动理论是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。该理论是针对加载过程的任一瞬间，认为应力状态确定的不是全量应变，而是该瞬时的应变增量，从而撇开了加载路线和加载历史的影响。第87页,共106页，2024年2月25日，星期天Levy—Mises方程列维一密席斯（Levy——Mises）理论第88页,共106页，2024年2月25日，星期天Levy—Mises方程列维一密席斯（Levy——Mises）理论将和代入上式，得第89页,共106页，2024年2月25日，星期天与弹性应力应变广义胡克定律比较第90页,共106页，2024年2月25日，星期天NOTE:（１）平面塑性变形时，若设Z向无变形,即△εz=0，则有：σz=(σx+σy)/2（２）若某两个正应变增量相等，其对应的应力也相等。例如圆柱体镦粗等某些轴对称问题中，△ερ=△εθ

则σρ’=σθ’，从而得：σρ=σθ（3）只适合塑性变形比弹性变形大得较多的大应变的情况下（4）仅适用于理想刚塑性材料，仅给出了应变增量与应力偏量之间的关系，而不能直接求出它们的数值。列维一密席斯（Levy——Mises）理论第91页,共106页，2024年2月25日，星期天例题设某点主应力状态为（2σ，σ，0），试求其塑性应变增量△ε1，△ε2，△ε3与等效应变增量的关系表达式第92页,共106页，2024年2月25日，星期天存在的问题增量理论只给出加载过程的状况，对卸载情况？胡克定律增量理论较严密，但解题不方便，全量应变？全量理论第93页,共106